BIBLIOGRAPHIE — ANALYSES ET INDEX 



BIBLIOGRAPHIE 



ANALYSES ET INDEX 



1° Sciences mathématiques. 



I>ni-l>oiix^ (Caston). — Mi'mhre dr rinMilnt, Doj/en 

 de la Fii'-iiKcih'^ Sririirc^ de l'aria. — Leçons sur la 

 Théorie générale des Surfaces et les Applications 

 géométriques du calcul infinitésimal. Troi>iicme 

 partie : Lignes géodésiques et courbure géodésique. 

 Paramètres différentiels. Déformation des sur- 

 faces. — 7Vo/siV//ic' fii^i-iailc. I i:ol. in-ti" de 7:i pa^jcf. 

 {Prix.-i'à /;•.) GaïUhier-Villars et fih. Paris, )89b. 

 Ce fascicule termine le troisième volume des Leçons 

 de M Darboux, mais non l'ouvrage entier, ainsi que le 

 comportait le plan primitil'. I.a théorie de la délorma- 

 tiou infiniment petite a pris, en effet, un développement 

 tel que l'auteur a dCi la réserver pour une quatrième 



''^t.e fascicule actuel n'est donc que le complément du 

 précédent. Il se compose de deux chapitres bien dis- 

 tincts. Le premier contient l'application des méthodes 

 antérieurement exposées à la recherche de surfaces à 

 courbure constante, et tout d'abord de celles de ces 

 surfaces qui ont leurs lignes de courbure planes ou 

 sphériques dans un système, d'après la méthode de 



M. Enneper. ,, ,• , , 



Si u est le paramètre d'une telle ligne de courbure, 

 'es coordonnées x,.z„ du centre de la sphère corres- 

 pondante par rapport au trièdre attache a la surface 

 cherchée sont des fonctions de m seul. En écrivant que 

 ce centre reste fixe quand on se déplace sur la ligne 

 de courbure, on obtient une équation aux dérivées par- 

 tielles qu'il faut joindre à celle qui caractérise les sur- 

 faces à courbure constante : la condition d'intégrabi- 

 lité du système ainsi obtenue donne deux équations 

 différentielles ordinaires en x„,z„. L'intégration de ces 

 équations n'a pu être effectuée par M. Enneper : elle 

 est due à M Dobriner. M. Darboux la présente sous 

 trois formes différentes, dont la dernière revienl.à ce 

 fait Géométrique simide : les sphères qui contiennent les 

 lirpies de fiourhurc doinenl avoir leurs centres en ligne 



Xvant trouvé des surfaces à courbure constante, on 

 peut en déduire une série d'autres par les mélhodes de 

 MM niicklund et Lie. Les quadratures que nécessite 

 l'emploi de ces méthodes peuvent être plus ou mmiis 

 réduites. L'intégration d'un certain système d'equation 

 de Riccati à deux variables contenant un paramètre 

 arbitraire permet de ramener à des calculs algébriques 

 l'application des méthodes de transformation. 



Le second chapitre établit un rapprochement entre 

 la théorie des surfaces à courbure constante et celle 

 des surfaces minima, à l'aide de la géométrie généra- 

 lisée de M. Cayley. _ - -, • 



Ou sait que les relations métriques de la géométrie 

 peuvent être exprimées sous forme projective par 

 [■introduction du cercle imaginaire à l'infini. On ob- 

 tient la géométrie de M. Cayley en remplaçant ce 

 cercle (considéré comme une quadrique dégénérée) 

 par une quadrique quelconque. Comme il est indiffè- 

 rent de faire subir à la ligure une transformation ho- 

 mographique, on peut ramener la quadrique fonda- 

 mentale, suivant qu'elle est ou non déuenerée, a être 

 le cercle imaginaire à l'infini ou une sphère ayant son 

 centre à l'origine, le [noinier cas étant celui de la 

 géométrie ordinaire. 



Unelraiisfornialinii,i'.-/,Miiiple relie, d ailleurs,! une 



àl'autreces deux 'jr iihs. Si, àclia<iue point M de 



l'espace nous faisons i,s|„mdre l'un des points jn, m 



nui sont les centres des sphères de rayon nul passant 

 par l'intersection de la sphère fondamentale S et du 



plan polaire de M par rapport à S, à la figure F, com- 

 posée des points M, correspondra une figure f, com- 

 posée des points m. L'angle cayleyen de deux li- 

 gnes de la figure F est égal à l'angle ordinaire cor- 

 respondant de la figure /'.'Quant à Télément linéaire 

 cavleven de la fii^ure F, il est égal à l'élément ordi- 



nuire ds de la figure/", multiplié par — ; — ,oùli,psont 



f.- — 11- 

 resppctivement le rayon de la sphère loiulamentale et 

 la distance du point m au centre. On peut supposer que 

 la dénomination de longueur d'un arc de courbe ait été 



donnée à l'intégrale / ., prise le long de cet 



J f — "' 

 arc : les lignes les plus courtes entre deux de leurs 

 points ne sont plus alors des droites, mais des cercles 

 orthogonaux à la sphère fondamentale. Si l'on remarque 

 que l'on peut toujours supposer le point m intérieur à 

 cette sphère, on reconnaîtra, dans la géométrie de la 

 figure /, la géométrie non euclidienne indiquée par 

 M. Poincaré dans la Revue du 30 janvier 1892 (p. 74). 



Si maintenant l'on demande la notion qui, en géo- 

 métrie cayleyenne, correspond à celle de surface mi- 

 nima, on pourra partir de la propriété qu'ont sur ces 

 dernières les lignes de longueur nulle de former un ré- 

 seau conjugué. En géométrie cayleyenne, les lignes 

 de longueur nulle sont remplacées par les lignes dont 

 les tangentes touchent la quadrique fondamentale. Or, 

 la recherche des surfaces S sur lesquelles ces lignes 

 forment un réseau conjugué dépend précisément de la 

 môme équation aux dérivées partielles que celle des 

 surfaces à courbure constante. 



On retrouverait, d'ailleurs, les même surfaces ï: en 

 Iranformant une autre définition des surfaces minima, 

 par exemple en considérant les surfaces dont les lignes 



asyinptotiques l'ont un angle cayleyen égal à ^, ou 



celles qui ont leurs rayons de courbure cayleyens égaux 

 et de lii^ne contraire, ou encore celles dont l'aire cay- 

 leyenne est iiiiiiima. 



.1. llADAMAIin. 



Oaiitoi- (Moritz). — "Vorlesungen uber Geschiehte 

 der Mathematik. Drittcr Paiid (vont Jahre 1008 liis 

 zuin Jahre I7b9). Krste Ablheilunç/ (Die 7.eit von 

 1068 6i.s 1699). — [ln volume in-S" de 2ol par/cs avec 

 i", /(■(/. dans le texte. {Prix : 7 fr. îiO). B. G. Teubner, 

 LeiirJri, 189;i. 



Le troisième et dernier volume, comprenant l'histoire 

 des Mathématiques depuis l'an 1608 à l'an 17.')9. se 

 divise en trois parties, dont la première, la seule parue 

 encore, contient un exposé des travaux publiés de 

 1668 à 1099. L'auteur nous présente, séparément pour 

 chaque branche, les progrès réalisés pendant celle 

 période, en attachant une grande importance à l'ordre 

 chronoloijique, afin de bien laisser entrevoir l'iiilluence 

 qu'un géomètre a pu exercer sur un autre. Qu'il nous 

 suffise, pour montrer le haut intérêt qu'offre le préseni 

 fascicule, de rappeler que c'est précisément à cette 

 époque que remonte la fondation du calcul différentiel 

 et intégral, c'est-à-dire que furent publiés les mémoires 

 de Leibnilz, de Newton, du marquis de l'Hospilal. des 

 frères liernouUi, de Tschirnliausen et d'autres. 



Il serait superflu de faire ici l'éloge d'une œuvre que 

 le public mathématicien a déjà su appréciera sa juste 

 valeur; souhaitons simplement que les deux derniers 

 fascicules ne tardent pas à être publiés. 



Il, Feu 11. 



