BIBLIOGRAPHIE — ANALYSES ET INDEX. 



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BIBLIOGRAPHIE 



ANALYSES ET INDEX 



1° Sciences mathématiques. 



Tannei-y (Jules), Soii^-Directeur des Edidt'f srienti- 

 li(iues à rE'-olf Xonnalc Sapcrieurf. — Introduction 

 à l'Etude de la Théorie des Nombres et de l'Al- 

 gèbre Supérieure. — Conférences faites à l'Ecole Nor- 

 male, rcdi<iccs et c(implét('es par MM. E. Boi-el et 

 J. I>i-aek. — 1 vol. inS'> de 330p. (Pri.c ; 10 fr.'). 

 'Soni/ et C", éditeurs. Paris, 1893. 

 La première partie de cet ouvrage {Théorie des nombres), 

 rédigée par M. Borel, traite d'abord des congruences 

 numériques : a ^^ b (mod. wi qui expriment que les en- 

 tiers a et b difl'èrent d'un multiple de l'entier m, puis 

 de la résolution des congruences algébriques, pour 

 lesquelles on peut édifier une théorie analogue à celle 

 des équations entières à une inconnue ; pour attribuer 

 des racines à toutes ces congruences, on est conduit à 

 introduire des symboles, dits imaginaires de Galois, dé- 

 finis par la condition de satisfaire à certaines d'entre 

 elles : cette introduction est faite du point de vue où 

 s'est placé Kronecker. L'ouvrage se poursuit par une 

 étude élémentaire des congruences binômes et de 

 la théorie des indices, étendue aux imaginaires de Ga- 

 lois, puis par celle de la congruence du second degré 

 qu'on ramène à la congruence binôme x'^ == D suivant un 

 module premierp ; quand un entier x vérifie cette con- 

 gruence, l'entier D est dit résidu quadratique du nombre 

 premierp : d'où la détermina'iun de l'un des nombres 

 p ou D, connaissant l'autre ; en particulier, quand L) 

 est donné, on a le difficile problème résolu par Le- 

 ;,'endre, à l'aide do la loi dite de réciprocité, et qui établit 

 une distinction essentielle entre les nombres premiers 

 des formes \n -\- \ et in + 3; cette distinction se re- 

 trouve au chapitre suivant, qui traite de la représenta- 

 tion des entiers par des formes quadratiques, et, en 

 particulier, par des sommes de carrés : la propriété, 

 exclusive parmi les nombres premiers, de ceux qui ont 

 la forme in + I d'être une somme de deux carrés, 

 conduit à ne plus les regarder comme premiers dans 

 l'ensemble des entiers tant réels qu'imaginaires, tels 

 que Gauss les a considérés. 



La seconde partie {.Mijèbre supérieure), rédigée par 

 M. Drack,est dominée par l'idée de mettre en évidence 

 l'introduction logiquedes symboles algébriques, comme 

 extension du (poupe formé par les entiers positifs, re- 

 lativement à leurs modes de composition additif et 

 multiplicatif; d'où l'apparition des entiers négatifs, 

 puis de tous les nombres rationnels, et enfin des 

 nombres a'yebriqucs, comme racines d'une équation 

 entière à coefficients entiers, irréductible à d'autres 

 équations à coefficients entiers et de degré moindre ; si 

 l'équation est de degré n, n symboles apparaissent 

 ainsi ;i la fois, qu'on peut déterminer par les relations 

 symétriques élémentaires entre les coefficients et les 

 racines; on est ainsi amené à considérer plus généra- 

 lement li symboles introduits simultanément par un 

 système d'équations, et l'on établit que leur calcul re- 

 vient à un calcul de polynômes suivant uh module l\ (,(•) 

 (c'est-à-dire effectué à des multiples près de II), U dé- 

 signant un polynôme à coefficients entiers qu'on nomme 

 le resoirairt du système simultané; ces considérations 

 pernictlent d'établir la possibilité logique de l'intro- 

 duction des nombres al;<ébriques, telle qu'elle a été 

 l'aile, et amènent à l'étude des relations qui existent 

 entre les fonctions rationnelles de u indéterminées : 

 cette étude entraîne celle des groupes de substitutions, 

 dont la théorie est appliquée aux équations résolubles 

 algébri'juement, et à la démonstration du célèbre théo- 

 jême dWbel sur l'impossibilité de résoudre ainsi l'é- 



quation générale de degré supérieur au quatrième. 

 L'ouvrage se termine par des applications aux équa- 

 tions dites normales et abélienncs et des notes complé- 

 mentaires. 



Dans la préface, M. Tannery insiste sur la grande 

 part de ses deux collaborateurs à l'œuvre commune : à 

 leur tour, MM. Borel etDrack s'associeront à nous pour 

 reconnaître ce qui revient à leur éminent maître des 

 qualités de clarté, d'élégance et de méthode, qu'on 

 trouve dans ce remarquable ouvraire. 



.M. Leliel'vrk. 



Painlevé (Paul). — Mémoire sur la Transformation 



des Equations de la Dynamique. — {Journal de 



Matlieinatiques, 1894), 92 paqes. Gaulhier-Villars et 



fils, éditeurs, Paris, 1894. 



On ne saurait prétendre, dans une notice de quelques 

 lignes, faire un compte rendu circonstancié de 92 pages 

 remplies de calculs et de raisonnements serrés. Expli- 

 quons seulement en peu de mots de quoi il est ques- 

 tions dans le Mémoire de M. l'ainlevé. 



Soit S un système matériel dont la position est défi- 

 nie par R variables q. Les forces ne dépendent ni du 

 temps, ni des vitesses, mais seulement de la position 

 de S. La force vive ne dépend que de la position de S et 

 des vitesses, mais non du temps. On obtient alors les </ 

 en fonction du temps, c'est-à-dire le mouvement du sys- 

 tème S, par l'intégration d'un système (.\) d'équations 

 différentielles dit « système de Lagrange ». 



Rien n'empêche d'imaginer un point s ayant, dans 

 un espace E à R dimensions, les q pour coordonnées. 

 Alors s parcourt dans cet espace une mulplicité à une 

 dimension ou courbe trajectoire g. Le mouvement de 

 S est connu dès que l'on connaît la nature géométrique 

 de g ainsi que la loi du déplacement de,'! sur g. 



M. Painlevé cherche les systèmes de Lagrange « cor- 

 respondants Il de {A), c'est-à-dire tels que la courbe g 

 soit la même que pour (.\ , la loi du déplacement de 

 .< sur g pouvant changer. Cette propriété doit, dans une 

 certaine mesure, rester inaltérée par un changement 

 de coordonnées effectué dans l'espace E. 



On obtient d'abord une infinité de systèmes corres- 

 pondants en changeant l'unité de temps. La nouvelle 

 unité peut être imaginaire, ce qui permet d'interpréter 

 en dynamique le temps imaginaire. Il y a aussi une 

 infinité de correspondants, siijnalés par M. Darboux. 

 lorsque les forces du système (.\' proviennent d'un 

 potentiel. En dehors de ces correspondants ordinaires, il 

 n'en existe pas d'autres, à moins de sujétions spéciales 

 à imposer au système (A). 



M. Painlevé étudie ces sujétions. Une consi'quence 

 intéressante est celle-ci : une certaine fonction qua- 

 dratique des vitesses (analogue à la force vive, mais 

 distincte) doit, à chaque instant du mouvement, dépen- 

 dre seulement de la position du système matériel et 

 non du temps. 



Quand il s'agit d'un savant comme M. Painlevé, b's 

 épithètes louangeuses ne sont plus de mise. Bornons- 

 nous à signaler la grande importance que me parais- 

 sent avoir pour les progrès de la Mécanique rationnelle 

 le .Mémoire présent ainsi que les travaux antérieurs de 

 MM. Darboux, ,\ppell, Goursat... dont M. Painlevé se 

 réclame souvent. Tout cela consiste, en elTet, à étudier 

 les solutions des problèmes de Dynamique en elles- 

 mêmes, indépendamment du procédé de résolution. 

 C'est le premier pas vers une théorie des Invariants en 

 Mécanique. On sait combien cette notion d'invariance 

 a déjà transformé l'.inalyse et la Géométrie. 



Lkon Auton.ne. 



