28G 



BIBLIOGRAPHIE 



ANALYSES ET INDEX 



BIBLIOGRAPHIE 



ANALYSES ET INDEX 



1° Sciences mathématiques. 



Le Itotix (.1.), P/o/'fssc»/- iJc Mfil/u'iiuiliqucs spcriak:^ 

 au Liji'i'e 'le Hrefl. — Sur les intégrales des équa- 

 tions linéaires aux dérivées partielles du second 

 ordre à deux variables indépendantes. T/tt'se pour 

 le Doctonil de la Faculté des Sciences de Paris. — i vol. 

 gr. in-S" de 96 pages. Gauthier-Villars et fils, édilcuis. 

 Paris, ISO.'i. 



La thèse de M. Le Houx est un des meilleurs travaux 

 qui aient été présente's comme thèses dans ces der- 

 nières années à la Faculté des Sciences de Paris. Elle 

 fait le plus grand honneur à son auteur, qui, parti d'un 

 modeste échelon dans l'enseignement primaire, avait 

 cru bon de conquérir d'abord le litre d'agrégé et^ avait 

 obtenu le premier rang au concours de 1889. C'est là 

 pour nos jeunes travailleurs un encouragement et en 

 même temps un bel exemple de travail ordonné et per- 

 sévérant qui, du reste, n'est point isolé dans notre 

 Université. 



On sait quelle place tiennent aujourd'hui dans la 

 science les équations aux dérivées partielles du second 

 ordre et particulièrement celles qui ont la forme étu- 

 diée par Laplace. Leur rôle dans les théories physiques 

 est déjà ancien et il s'affirme chaque jour; MM. Dar- 

 boux et Ribaucour leur ont rattaché quantité de ques • 

 tions géométriques, et l'on sait que les belles Leçons 

 de M. Darboux sur la Tliéorie des Surfaces roulent eu 

 grande partie sur ces célèbres équations. Malheureu- 

 sement, le nombre de celles que Ton sait intégrer est 

 assez restreint, ce qui fait que nombre de probli''raos 

 qui se ramènent en dernière analyse à ces équations 

 restent en suspens, attendant ctiacun une solution 

 nouvelle de chaque équation nouvelle que l'on saura 

 intégrer. 



C'est doTic vers cette intégration que doivent se 

 porter actuellement les efforts. On connaît les beaux 

 résultats dus à M. Picard et notamment sa méthode dos 

 approximations successives qui est devenue, dans ses 

 mains habiles, un instrument théorique des plus élé- 

 gants. M. Le Roux fait servir cette méthode à la repré- 

 sentation de l'intégrale générale au moyen de certaines 

 intégrales particulières qui dépendent d'une constante 

 arbitraire et qu'il appelle principales; si z(.v, y, a) est 

 une intégrale principale par rapport à la variable x, 

 l'intégrale définie à limite variable x, 



■A- S /(a) 



rfa 



est une solution nouvelle de l'équation, quelle que 

 soit la fonction arbitraire /' {«). Il y a de même des 

 intégrales principales par rapport à la seconde va- 

 riable ;/. Les variables x, y sont les paramètres des 

 caractéristiques. 



Toute intégrale de l'équation différentielle proposée 

 admet ainsi une représentation au moyeu de deux 

 intégrales définies dont elle est la somme ; il suffit de 

 connaître une intégrale principale pour chacune des 

 variables x, y. Dans certains cas, la fonction z (.r, )/, a) 

 est principale à la fois pour les deux variables, et sa 

 connaissance suffit alors pour l'intégration complète 

 de l'équation. Tel est le cas de la fonction u, introduite 

 par M. Darboux. L'auteur étudie avec détail les déve- 

 loppemcntsen séries des solutions de l'équation, ainsi 

 que leurs singularités, qu'il distingue en propres, acci- 

 dentellei, mobiles. Les premières dérivent exclusivement 

 des coefficients de l'équation différentielle; les secondes 

 dépendent au contraire des conditions aux limites ; les 



ligues critiques qui dépendent d'un paramètre sont 

 dites mobiles. L'auteur établit diverses propriétés de 

 ces lignes critiques; il prouve, entre autres, ce théo- 

 rème que certaines intégrales, qu'il appelle normales, 

 ne peuvent admettre d'autres lignes critiques acciden- 

 telles que des caractéristiques. 



La troisième partie de la thèse de M. \.e Roux a pour 

 objet l'application des considérations théoriques des 

 deux premières parties à des exemples particuliers. La 

 célèbre équation d'Euler et de Poisson est la première 

 à laquelle il s'attache. Mais les travaux de M. Appell 

 et de M. Darboux ont déjà complètement résolu la 

 question en ce qui concerne cette équation. Aussi 

 M. Le Roux a-t-il tenu à montrer que sa méthode 

 générale pouvait donner des résultats plus nouveaux, 

 et c'est ce qu'il a fait de la façon la plus heureuse en 

 intégrant complètement l'équation dilTérentielle : 



'!>x-iL 



y 



y "^y 



où ij; [y], ç i.r) sont des fonctions quelconques de .1/ et 

 de X respectivement. Un aussi beau résultat clét digne- 

 ment le remarquable travail de M. Le Roux. Tous les 

 géomètres lui sauront gré d'avoir donné une méthode 

 générale véritablement capable de conduire à des 

 résultats nouveaux. <.. Kii;n[(.s. 



s*i'S»'<*"" ('.--V. di'i. — Sur deux formules fonda- 

 mentales dausla Théorie des formes quadratiques 

 et de la multiplication complexe d'après Kronec- 

 ker. Tlivac pour le dortorut es sciences nuilkêmathiques 

 de la Faculté des Sciences de Paris. — i vol. in-8". 

 Gauthier- Villars et fils. Paris, 189o. 



Quatre parties différentes dans le vaste domaine des 

 Mathématiques ont, pour le moment, le privilège pres- 

 que exclusif de fournir les candidats docteurs de sujets 

 de thèse. Ce sont : 



l^a géométrie (d'après le traité de M. Darboux sur les 

 surfaces), les équations différentielles, les propriétés 

 générales des fonctions (d'après MM. Poincaré, Picard, 

 Appell, Painlevé); les groupes continus de M. Lie. 



Ces théories ont, en eflét, reçu des maîtres de la science 

 des accroissements considérables et récents. Cela l^s a 

 mises à l'ordre du jour et, pour ainsi dire, à la mode. 

 Rien de plus naturel et de plus légitime que les préfé- 

 rences des candidats. Mais, par contre, il est équitable 

 de marquer d'une façon spéciale les thèses où le sujet 

 est moins d'actualité. C'est le cas pour MM. Padé (Uerue 

 du 30 mai 1892), Auric {Hevue du 13 septembre t894), 

 enfin pour M. de Seguier. 



L'.Arilhmétique supérieure el ses liens intimes et pro- 

 fonds avec les fonctions elliptiques passent à juste titre 

 pour une des parties les plus ardues de la science. La 

 matière a exercé la sagacité des plus illustres géo- 

 mètres et notamment de Kronecker. La publication 

 dos O'uvres du savant berlinois ne fait que coniinmcor 

 (voir dans la licvue du ."?() novembre 1894 ma noiii-o sur 

 la théorie des intégrales définies d'après KronocUer, 

 publiée par M. Netto). M. de Seguier semble avoir eu 

 pour but de faire, pour la portion arithmétique de la 

 théorie des fonctions elliptiques d'après Kronecker, le 

 même travail de coordination, avec perfectionnements 

 partiels, que M. Netto pour les intégrales définies. 



La matière de la thèse a beaucoup de portions com- 

 munes avec l'ouvrage de Bachmann sur la théorie des 

 nombre (voir Hernie du lii mars 1895) ; mais M. de Seguier 

 approprie l'étude des formes quadratiques aux idées 

 plus récentes et plus profondes de Kronecker. Les rap- 



