BIBLIOGRAPHIE — ANALYSES ET INDEX 



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BIBLIOGRAPHIE 



ANALYSES ET INDEX 



1° Sciences mathématiques. 



Méray (Cli,), Professeur à la Facultv des Sciences de 

 Dijiiii. — Leçons nouvelles sur l'Analyse infinité- 

 simale et ses Applications géométriques. Pre- 

 iiiieie partie. Phincipes gÉiNÉraux. — ("/( vol. tjr. m-S' 

 (/(' xxiii-10:i /). Pri.e : 13 fr. Gaulliier-Villars et fils, 

 éditeurs. Paris, 1895. 



L'espnce nous manque pour analyser comme nous 

 le vouiliions une publication de cette importance, que 

 tout le monde, au surplus, voudra lire: nous passe- 

 rons donc sous silence l'indication détaillée de son 

 contenu et nous nous bornerons à dire en gros le bien 

 que nous en pensons, le but que l'auteur veut at- 

 teindre. 



Hans ce magnifique ouvrage, qui sera un véritable 

 monument de la science française, M. Méray ne veut 

 empruntei- au monde extérieur que les notions que 

 notre esprit en tire relativement aux nombres entiers 

 et aux combinaisons les plus simples -que l'on peut 

 effectuer sur ces symboles ; il déduira de Là les règles 

 du calcul algébrique ainsi que la notion complète du 

 nombre fictif de l'analyse moderne; il ne s'appuiera 

 sur aucune considération infinitésimale proprement 

 dite ; l'idée d'inlnii n'y figure à proprement parler que 

 sous sa forme ia plus accessible, qu'après tout nombre 

 entier il y en a d'autres, et l'idée de limite est ratta- 

 cbée à celle-ci d'une façon très simple. C'est avec ce 

 bagage peu encombrant* et dénué de toute métaphy- 

 sique que l'auteur édifie sa théorie générale des fonc- 

 tions. 



Celle vaste exposition de ce qui constilue à propre- 

 ment parler toute la science mathématique ne repose 

 que sur des calculs algébriques relativement simples. 

 Le premier volume contient l'exposé des généralités et 

 des propriétés communes à toutes les fonctions analy- 

 tiques; les suivants renfermeront l'élude des princi- 

 pales fonctions particulières aujourd'hui connues et les 

 premières applications de l'analyse infinitésimale Dans 

 ce premier volume, il n'est jamais fait appel aux pro- 

 priétés d'uue fonction particulière, si simple qu'elle 

 soit, et cependant l'auteur s'élève graduellement des 

 propositions les plus élémentaires jusqu'à la théorie 

 des équations différentielles totales et partielles. 11 ne 

 fait usage d aucune considération géométrique ; il ne se 

 sert que de la représentation graphique habituelle des 

 nombres imaginaires, dans le simple but de faire 

 image et de simplifier les énoncés relatifs à ia Ihéoiie 

 des fonctions. 



On conçoit qu'avec un pareil objectif, et voulant dé- 

 gager le plus possible l'Analyse de toute considération 

 relative au monde extérieur, l'auteur ait repris l'idée de 

 nombre à son origine même, le nombre entier, et qu'il 

 ait édifié sans autre secours que l'idée dénombre entier 

 et celle d'addition de nombres entiers, l'ensemble com- 

 plet des nombres fictifs que l'analyse emploie. Les trois 

 premiers chapitres sont consacrés à ce travail ; ils sont 

 admirablement ordonnés, d'une logique absolue, et je 

 ne vois aucune critique à faire à cette partie du volume, 

 le dois rappeler d'ailleurs, en passant, que M. Méray 

 l'^t le premier qui ait résolu ces questions passable- 

 ment difficiles. Depuis quelque temps, on a beaucoup 

 écrit sur ce sujet et beaucoup prêté aux Allemands, 

 comme d'habitude; mais, en comparant les dates de 

 publication et en tenant compte de l'enseignement 

 public de .M. Méray, il est facile de fixer son opinion à 

 ce sujet. Au reste, l'idée de variante qu'emploie l'au- 

 teur pour parvenir au nombre incommensurable, bien 

 qu'à peu près identique à celle de suite rationnelle et 



infinie, me paraît donner à celte exposition sa forme 

 la plus simple et la plus lumineuse. 



Viennent ensuite les séries. Elles sont un objet de 

 prédilection pour l'auteur, qui en fait la base de tout 

 son système et la représentation naturelle de toutes 

 les fonctions dignes de ce nom. Cette théorie, bor- 

 née aux choses essentielles et débarrassée du fatras 

 qui l'accompagne dans plus d'un ouvrage, est ici 

 magistralement exposée. Sans insister sur des règles 

 de convergence plus ou moins menues, en tout cas 

 utiles seulement pour l'étude des fonctions particulières, 

 l'auteur s'occupe d'abord des propriétés générales des 

 séries ; la comparaison de deux séries; la transfor- 

 mation d'une série par le groupement et le déplace- 

 ment des termes; l'addition, la soustraction et la mul- 

 tiplication des séries. Puis il passe à l'étude des sé- 

 ries entières à variables en nombre quelconque, dans 

 laquelle il débute par la progression géométrique à 

 plusieurs raisons, et par la recherche des aires de 

 convergence. Ensuite viennent diverses propriétés 

 dont il sera fait grand usage dans la théorie des fonc- 

 tions : le développement d'une série entière où l'on 

 met à la place de chaque variable une somme de nou- 

 velles variables; la continuité; le théorème d'Abel, 

 relatif aux valeurs des variables situées sur les cercles 

 de convergence ; les valeurs que peut atteindre ou dé- 

 passer le module de la somme d'une pareille série, etc. 



L'idée de fonction est alors introduite d'une façon 

 définitive. Sans se soucier à ce moment de l'origine 

 que peut avoir une fonction à étudier, point sur le- 

 quel il s'appesantira très soigneusement plus tard, 

 M. Méray dit que cette fonction est ohttrope dans les 

 aires S,r, Sy, . . ., avec les olomètres Zx. cy, . . ., quand, 

 pour tout système x^, ?/», ... de nombres pris dans les 

 aires en question, on peut développer la fonction en série 

 entière et convergente par rapport à x — ,(•„, ij — ijo, ■ ■ ., 

 pourvu que les modules de ces diiïérences soient 

 moindres respectivement que Sj-, ôy Les aires con- 

 sidérées sont quelconques d'ailleurs, à contours sim- 

 ples ou multiples. 



C'est cette notion de l'olotropie que .M. Méray subs- 

 titue aux anciennes propriétés primordiales attribuées 

 aux fonctions, d'être uniformes et pourvues de dérivées 

 de tous ordres dans les aires en question. Pour lui, 

 cette nolion est inséparable de l'idée de fonction utile 

 et maniable; il rejette des calculs courants toute fonc- 

 tion qui n'est olotrope dans aucun groupe d'aires, et 

 son système ne lui attribue aucune propriété de carac- 

 tère général. 



Nous ne voulons pas entamer ici de discussion avec 

 l'auteur sur le point de savoir si son idée est la seule 

 qui se prête à l'étude des propriétés des fonctions. Nous 

 ferons simplement observer qu'il est le seul à pos- 

 séder un système complet d'analyse, et que toutes les 

 démonstrations qu'il donne sont uniformes, théori- 

 quement très simples, et rigoureuses comme celles de 

 l'Algèbre la plus vulgaire; au reste, les autres auteurs, 

 dans beaucoup de questions, emploient aussi les sé- 

 ries et font, sans le dire, les mêmes hypothèses que 

 M. Méray. 



Les dérivées des divers ordres s'obtiennent sans con- 

 sidération d'infiniment petits, d'une façon purement 

 algébrique, en quelque sorte, en développant la sé- 

 rie f i-r -\- h, y -\- k, ... ) et en la mettant sous la 

 forme f i.v, y, ... ) -+- hfx + kf'y. . .. , les quan- 

 tités f".r. t'y. ■■■ étant d'autres séries convergentes. 

 L'auteur montre que ces coefficients sont des /onc- 

 tions olotropes de x, y, ... dans les aires considérées. 

 Il est alors amené tout naturellement à chercher com- 



