BIBLIOGRAPHIE — ANALYSES ET INDEX 



:î87 



BIBLIO&RAPHIE 



ANALYSES ET INDEX 



1° Sciences mathématiques. 



I^aeoui- (E.), Professeur de Mathématiques spt'ciales au 

 Lycée Saint-Louis. — 1" Sur des fonctions d'un point 

 analytique à multiplicateurs exponentiels ou 

 à périodes rationnelles ; — 2° Sur l'équation de 



■5-M "û-u 1)i( 



la chaleur : .r— ; + .r-:; = :;r ' — Thèses pour le I)oc- 



tarât de la Faculté des Sciences de Paris. — 1 vol. gr. 

 in-S" de 75 pages. Gauthier-Villars et fils, éditeurs. 

 Paris, 189d. 



1. — Dans son célèbre Mémoire sur les Fonctions 

 abéliennes, Riemann fonde la solution du problème 

 Je l'inversion sur les propriétés de la fonction dans 

 laquelle on a remplacé les variables par les intégrales 

 de première espèce correspondantes. La fonction ainsi 

 formée est uniforme sur la surface de Riemann af- 

 fectée de coupures : elle ne change pas quand la va- 

 riable franchit une des coupures a; elle se reproduit 

 multipliée par une exponentielle, dont l'exposant est: 

 une intégrale de première espèce, quand la variable 

 franchit une des coupures b. Il est évident que la dé- 

 rivée logarithaiique de cette fonction croît de fonc- 

 tions rationnelles du point analytique (,r, y), quand ce 

 point franchit une coupure b : on peut donc dire que 

 les modales de périodicité de cette fonction sont ra- 

 tionnels en X et y. 



M. Lacour a étudié deux catégories générales de 

 fonctions qui comprennent, comme cas très particu- 

 lier, cette fonction de Riemann et sa dérivée logarith- 

 mique. 



Dans une première partie, M. Lacour étudie une 

 fonction qui n'a que des pôles et dont les valeurs, aux 

 deux bords d'une coupure, diffèrent par un facteur 

 e.xponentiel ayant pour exposant une fonction li- 

 néaire donnée des p intégrales de première espèce. Il 

 montre que les coefficients de ces fonctions linéaires 

 ne peuvent pas être pris arbitrairement et sont assu- 

 jettis aux conditions suivantes : lorsqu'on a ramené à 

 l'unité tous les multiplicateurs qui correspondent aux 

 coupures a, ce qui est toujours possible, l'un des coef- 

 ficients doit être entier dans chacune des fonctions 

 linéaires qui forment les exposants des multiplicateurs 

 relatifs aux coupures b. Ces coelficients entiers inter- 

 viennent quand on cherche l'excès du nombre des 

 zéros de la fonction sur le nombre de ses infinis. La 

 considération de certaines intégrales curvilignes 

 fournit d'importantes propositions qui relient, les uns 

 aux autres, le théorème d'.\bel, son extension aux 

 fonctions à multiplicateurs constants, et le théorème 

 de Riemann sur les zéros de la fonction transformée, 

 comme nous l'avons dit, en fonction d'un point ana- 

 lytique. 



Dans la deuxième partie, M. Lacour étudie des fonc- 

 tions n'ayant que des pôles et admettant sur les 2 p 

 coupures, 2p modules de périodicité formés de fonc- 

 lions rationnelles données arbitrairement. 11 montre qu'il 

 existe toujours des fonctions répondant à la question; 

 pour cela, il établit d'abord ce fait que les pôles et 

 les résidus de la fonction sont liés par p relations 

 qui, dans certains cas, peuvent se réduire à des iden- 

 tités. Puis, et c'est là un résultat des plus remarqua- 

 bles, il donne l'expression générale de la fonction 

 quand on connaît les pôles et les résidus. Cette expres- 

 sion est fournie par une somme d'intégrales définies 

 dans lesquelles la variable figure comme un para- 

 mètre. La vérification de la propriété fondamentale de 

 la fonction ainsi formée résulte, d'une part, des théo- 



rèmes donnés par M. Hermite sur les intégrales défi- 

 nies affectées de coupures et, d'autre part, des rela- 

 tions précédemment établies entre les pôles et les 

 résidus. 



Dans une troisième et dernière partie, M. Lacour 

 montre que les fonctions nouvelles qu'il introduit dans 

 l'analyse se présentent nécessairement comme inté- 

 grales de certaines équations linéaires à coefficients 

 algébriques, avec second membre. 



2. — M. Lacour donne d'abord un résultat élégant, 

 analogue au théorème connu de Thomson, suc l'inver- 

 sion, dans la théorie du potentiel : il détermine les 

 transformations réelles qui ramènent l'équation à la 

 même forme; en laissant de côté les transformations 

 évidentes résultant des considérations d'homogénéité 

 et des formules du changement d'axes coordonnés, il 

 trouve qu'il n'y a qu'une transformation répondant à 

 la question: c'est une certaine transformation homo- 

 graphique pour les coordonnés. Ce résultat, qui se 

 rattache aux travaux de M. Lie, permet de déduire de 

 la solution d'un problème sur la chaleur la solution 

 d'un autre problème. 



L'auteur établit ensuite une formule analogue à celle 

 de Green, par la considération de l'équation adjointe. 

 Il fait deux principales applications des résultats qu'il 

 obtient : 



1° En étudiant les polynômes qui vérifient l'équa- 

 tion et en montrant qu'ils sont exprimables à l'aide de 

 ceux que M. Hermite a déduits de la différentiation 

 d'une exponentielle du second degré en .v et y, 



2" En établissant, par une voie purement analytique, 

 relativement à une fonction u existant entre deux 

 plans parallèles au plan des xy, des formules que les 

 physiciens avaient été conduits à admettre d'après les 

 propriétés de la chaleur. 



P. Al'I'ELL, 

 de l'Académie des Sciences. 



Caspari (E.l, Ingénieur hydrographe de la Marine, Ré- 

 pétiteur à l'Ecole Polytechnique. — Les Chronomètres 

 de Marine. — i vol. petit in-S''de 200 p. avec fig., de 

 l'Encyclopédie scientifique des Aide- Mémoire, dirigée par 

 M. H. Léauté, de l'Institut. {Prix : broché. 2 fr. 50 ; 

 cartonné, 3 fr.) — Gauthier-Villars et filsetG.Masson, 

 éditeurs. Paris, 1895. 



Le véritable titre de cet ouvrage serait : Quelques 

 mots sur l'étude des marches chronométriques et leur 

 détermination. C'est qu'en effet l'auteur, négligeant à 

 peu près complètement la description matérielle des 

 chronomètres, leur construction, leur histoire, etc., 

 nous offre l'étude ou plutôt un résumé de l'étude de 

 leur mouvement. Nous ne nous enplainJronspas,car ce 

 n'est certes pas là le sujet le moins intéressant et le 

 moins instructif de tous ceux que l'on pouvait traiter 

 à propos des chronomètres. 



Un court chapitre est consacré à rappeler le nom et 

 le rôle des principales partiesde leur mécanisme. Nous 

 abordons ensuite leur théorie. 



La durée des oscillations du régulateur doit être in- 

 dépendante : t°de leur amplitude (condition d'isochro- 

 nisme), 2° Je la température. L'isochronisme s'obtient 

 soit par un choix rationnel des points d'attache de la 

 virole du balancier (méthode de Pierre Le Roy), sojt 

 par la modification delà forme circulaire des extré- 

 mités du spiral (méthode de Phillips). On annule les 

 effets dus à la température par l'emploi des balanciers 

 compensés (balanciers bimétalliques, par exemple). 

 En pratique, l'isochronisme et la compensation ne sont 



