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BIBLIOGRAPHIE — ANALYSES ET INDEX 



BIBLIO&RÂPHIE 



ANALYSES ET INDEX 



1° Sciences mathématiques. 



Gi-eenliill (A. -(_!.), Profesticur de Malhànatiquesi au 

 ColUge de Woolwkh, membre de la Société hoijah 

 de Londres. — Les Fonctions elliptiques et leurs 

 Applications, traduit de V ann lais, par ^\. J. d-iuss, 



Professeur au Lycée d'Alger. — Un volume in-H" de 

 ^-,i liages. {Pri.e : 15 fr.) G. Carré, éditeur. Paris, 1893. 



Le iîoùt naturel et l'éducalioii dé beaucoup d'étu- 

 diants français les portent, quelquefois avec excès, vers 

 les idées générales. Pour ne parler que de Mathéma- 

 tiques, quel professeur n'a rencontré des élèves de nos 

 Ecoles et de nos Lycées parfaitement instruits des 

 théories générales et incapables d'en faire une applica- 

 tion précise, cependant très facile, possédant, par 

 exemple, la notion d'intégrale de'finie dans toute sa 

 rigueur, sans savoir elïectuer les quadratures les plus 

 élémentaires. 



11 est utile que quelques ouvrages viennent réagir 

 contre ces tendances; pour cela, on ne peut trouver 

 mieux que les livres anglais, dans la plupart desquels 

 les idées générales sont amenées peu à peu par l'élude 

 des faits mathématiques ou des questions posées par 

 les sciences physiques. C'est à ce titre que se recom- 

 mande l'ouvrage de M. Greenhill, dont on ne peut mieux 

 caractériser l'esprit qu'en reproduisant la pensée de 

 Fourier qui lui sert d'introduction : 



« L'étude approfondie de la Nature est la source la 

 « plus féconde des découvertes mathématiques. Non 

 « seulement cette étude, en offrant aux recherches un 

 « but déterminé, a l'avantage d'exclure les questions 

 Il vagues et les calculs sans issue; elle est encore un 

 « moyen assuré de former l'Analyse elle-même et d'en 

 (I découvrir les éléments qu'il nous importe le plus de 

 K connaître et que cette science doit toujours couser- 

 i< ver. Ces éléments fondamentaux sont ceux qui se re- 

 « produisent dans tous les effets naturels. » 



M. Greenhill se place ainsi à un tout autre point de 

 vue que les auteurs des excellents traités français sur 

 les fonctions elliptiques: Firiol et Bouquet, Halphen, 

 MM. Tannery et Molk. Il renonce aux avantages d'unité 

 et d'enchaînement logique que ces auteurs obtiennent 

 en établissant d'abord, par des considérations généralrs 

 ordinairement empruntées à la théorie moderne des 

 fonctions, les i'ormules et les théorèmes relatifs aux 

 fonctions elliptiques, pour les appliquer ensuite à la 

 Mécanique, à la Physique mathématique, à la Géomé- 

 trie, à l'Arithmétique; mais il trouve, en revanche, 

 l'avantage bien précieux d'intéresser immédiatement le 

 lecteur qui n'est pas un pur mathématicien, en lui 

 fournissant, dès les premières pages, de belles et im- 

 portantes applications des fonctions elliptiques. 



L'auteur suit en cela une méthode d'exposition ana- 

 logue à celle de M. Hermite, qui, dans son beau Mi'- 

 moire Sur quelques applications des fonctions elliptiques, 

 commence par montrer comment un problème sur la 

 chaleur conduit aux fonctions doublement périodiques 

 de seconde espèce. 



M. (ireenhill, en traitant d'abord des questions entiè- 

 rement élémentaires, montre de mémo que les fonc- 

 tions elliptiques s'imposent à l'Analyse pour la résolu- 

 lion de problèmes simples de Mécanique, Géométrie, 

 Physique mathématique. Il commence parles anciennes 

 méthodes de Legendre, Abel, Jacobi, en partant de la 

 notion de l'inlétirale elliptique et de la fonction inverse ; 

 il ne suppose donc chez le lecteur aucune connaissance 

 sur la théorie générale des fonctions, ni sur la théorie 

 particulière des fonctions elliptiques; et il l'amène peu 

 à peu, par l'étude de problèmes élégamment choisis, 



sans caractère artificiel, à posséder tous les points 

 essentiels du sujet. 



La traduction de M. Griess n'est pas entièrement 

 conforme à l'édition anglaise : M. Greenhill en a aug- 

 menté l'intérêt par des remaniements et d'importantes 

 additions, notamment parun appendice de 50 pages en- 

 tièrement nouveau. — Voici une analyse sommaire de 

 l'ouvrage : 



Le livre débute par l'étude des oscillations du pen- 

 dule simple; les expressions des coordonnées de l'ex- 

 trémité du pendule en fonction du temps conduisent à 

 la définitioii analytique des fonctions elliptiques d'une 

 variable réelle et à leurs représentations géométriques 

 et mécaniques. La périodicité du mouvement pendu- 

 laire conduit naturellement à la notion de la période 

 réelle des fonctions elliptiques, sn, en, dn, et aux 

 formules donnant les valeurs de ces fonctions, quand 

 on ajoute à l'argument la demi-période. La période 

 imaginaire est ensuite introduite et interprétée méca- 

 niquement, comme le produit de i jiar la p^'i iiHlc ilc l'os. 

 cillation]d'un pendule décrivant l'arcsupéri'iii ihi iii'"'me 

 cercle, sous l'action de la pesanteur ch;ui,;-i'r d'; sens. 



Après une courte digression sur la dégénérescence 

 des fonctions elliptiques en fonctions circulaires ou 

 hyperboliques, l'auteur revient au mouvement pendu- 

 laire, et, par la comparaison des mouvements de deux 

 pendules, dont l'un fait des révolutions complètes, 

 tandis que l'autre exécute d.es oscillations, il établit les 

 formules qui correspondent à l'échange du module 

 avec son inverse. Puis, viennent quelques applications 

 élégantes, surfaces minima, équation d'Euler, desli- 

 nées à graver les premières formules dans l'esprit du 

 lecteur. 



Dans le second chapitre, l'auteur considère les inté- 

 grales elliptiques de toutes les formes possibles; il 

 donne leurs valeurs au moyen des fonctions elliptiques 

 inverses; il introduit la notation de Weierstrass, quand 

 le polynôme sous le radical est du troisième degré. 



Ces premières notions, dans le cas de la variable 

 réelle, suffisent pour l'intelligence des applications 

 géométriques et mécaniques auxquelles est consa- 

 cré le chapitre ni. La variété des problèmes choisis 

 en rend la lecture très intéressante, et contribue à 

 familiariser le lecteur avec le maniement des formules. 



Le chapitre iv traite du tliéorème d'addition. Ce der- 

 nier est encore rattaché au mouvement simultané di 

 deux pendules en retard l'un sur l'autre ; l'auteur en 

 déduit la construction de Jacobi, et une application dos 

 plus intéressantes à la construction des polygones de 

 Poncelet, inscrits à un cercle et circonscrits à un autre. 

 M. (ireenhill, après avoir très heureusement modifié et 

 complété la partie relative aux pentagones, montre 

 comment ses résultats peuvent être identifiés avec ceux 

 qu'Halphen a trouvés dans le IL' volume do son Traité, 

 et donne quelques théorèmes nouveaux. Une dernière 

 application se rapporte à la Trigonométrie sphérique et 

 conduit au tableau des 33 formules données par Jacobi 

 dans ses Fuiidainenta. 



Le chapitre v envisage le théorème d'addition sous 

 forme algébrique; sa lecture suppose la connaissance 

 d'un certain nombre de théorèmes d'Algèbre supérieure 

 relatifs à la théorie des formes. 



Le chapitre suivant conduit aux intégrales de 

 deuxième et troisième espèces et aux fonctions Z (m) et 

 ■K (u, a). 



Dans le chapitre vu paraissent les fonctions lu l't ■^u 

 de M. Weierstrass. Elles servent à compléteila solutidu 

 de problèmes qui n'avaient pu être terminés préct-- 

 demment (chaînette en rotation, élastique gauche aigé- 



