DANS LE PREMIER MEMOIRE DEINSTEIN ? 



Ces ellipsoïdes jouissent de propriétés très 

 remarquables, et nul doute qu'Einstein les eût 

 utilisés s'il en avait eu connaissance. 



Mais, avant de passer aux applications, il con- 

 vient d'examiner la question d'un autre point de 

 vue. C'est ce que nous allons faire. 



II 



Dans la Théorie de la relativité restreinte, il y 

 a, à côté de la transformation de Lorentz, des 

 formules d'importance également fondamentale: 

 ce sont celles qui expriment la régie (Vaddition 

 dex 1,'iles.ses d'Einstein, règle indiquée d'ailleurs 

 indépendamment par Poincaré. Nous établirons 

 cette règle en procédant de la façon suivante. 

 Désignons par u et li les produits c„7 et c^t' des 

 relations (a). Ces quantités, homogènes à une lon- 

 gueur, représenteront les chemins décrits par un 

 même rayon lumineux repéré dans chacun des 

 systèmes S et S'. Exprimons le temps, mesuré 

 en secondes, par la lettre t, et dérivons les rela- 

 tions (a) relativement à t, en indiquant par un 

 point sur les lettres le résultat de l'opération. 

 Posons: 



Qx = — Co, Qy 



_ y 



Co,...j vx -^ Co," 



U u' 



Q^: 



Les relations (aj dérivées donnent : 



C'est la règle d'addition cherchée; toutes les 

 vitesses Q sont exprimées en km/sec. 



Considérons une onde lumineuse sphérique 

 rapportée à la voie (système S). Nous pouvons 

 la représenter par : 



(5) Qx2 + Qy2 + Q,2 = c„2. 



Transformons cette expression à l'aide de (b). 

 Nous obtenons : 



soit de nouveau une onde sphérique. C'est ici 

 donc qu'Einstein pourrait appliquer sa conclu- 

 sion. La transformée est une « vraie » sphère, et 

 non une variété à points non simultanés. C'est 

 probablement ce résultat qui a conduit Einstein 

 à formuler sa proposition. 



Nous nous trouvons ainsi en présence d'une 

 dualité de forme qui ne laisse pas d'être embar- 

 rassante; nous lui vouerons toute notre attention 

 dans un instant. Quoi qu'il en soit, ce n'est pas 

 la « relativité de la simultanéité » qui résoudra 

 la difficulté; elle ne pourra que la masquer. Si, 

 mathématiquement, il est permis de dire que 

 les expressions (1) et h) sont des expressions 

 analytiques diiïérentes de la même onde sphé- 



rique, il est par contre impossible de préten- 

 dre que les transformées (3) et (6) sont identiques. 

 D'ailleurs, toutes ces relations ne sont pas indé- 

 pendantes. C'est ce que montrent clairement les 

 figures ci-dessous, qui constituent une représen- 

 lation graphicjue remarquable de l'Optique des 

 corps en mouvement. 



Le haut de la figure 1 représente une section 

 d'une onde lumineuse en mouvement dans l'hy- 

 pothèse de Vémhsioii d(^ Newton-Ritz. Ici, le 



Fit'. 1- 



centre d'émission est supposé entraîné avec le 

 système-train S', donc animé de la vitesse v par 

 rapport à la voie; il émet alors dans le vide, sui- 

 vant toute s les directions, des particules lumi- 

 neuses ayant la vitesse (•„ relativement à S'; au 

 bout d'une seconde, celles-ci se trouvent sur une 

 sphère analogue à I. Pour l'observateur situé sur 

 la voie, au vecteur c = 00' vient s'ajouter le 

 vecteur O'P =: Cq ; le lieu des points P est la 

 sphères de rayon Cj et dont le centre O' se dé- 

 place avec la vitesse c. La résultante est le vec- 

 teur OP. 



Le bas de la figure 1, par contre, représente 

 l'onde émise dans l'hypothèse de la transforma- 

 tion de Lorentz. Au lieu de la sphère S nous 

 obtenons l'ellipso'ide II que représente l'équa- 

 tion (4 . L'équation en coordonnées polaires 

 s'écrit immédiatement. Posons : 



du' , du dx 



— = c =c„, _=c, -=ccos.. 



La transformation de Lorentz, dérivée par rap- 

 port à t, donne alors directement : 



(7) 



;3( I K COS f) 



