R. THIRY. — SUR LA POSSIBILITÉ DR SE REPRÉSENTER L'ESPACE FINI 205 



SUR LA POSSIBILITÉ DE SE REPRESENTER L'ESPACE FINI 

 ET SANS BORNES DE LA THÉORIE DE LA RELATIVITÉ» 



Parmi les conséquences que la théorie de la 

 relativité prétend nous imposer et que nous 

 avons du reste quelque peine à assimiler, il en 

 est une tout à fait singulière, découlant de la 

 théorie généralisée. Certains relativistes, dont 

 en particulier M. Einstein, prétendent que l'uni- 

 vers sensible dans lequel nous vivons est un 

 univers fini et cependant sans bornes. 



Sans vouloir entrer dans aucune étude ni au- 

 cune discussion sur la valeur des théories relati- 

 vistes, il m'a paru d'un certain intérêt de dévelop- 

 per à ce sujet quelques réflexions très simples. 

 Sans doute, ces réflexions ne sont pas nouvel- 

 les, mais puisque de telles questions se trouvent 

 remises à l'ordre du jour par les physiciens, il 

 peut y avoir avantage, ne serait-ce que pour 

 quelques personnes non initiées, à préciser le 

 sens des mots que l'on emploie. 



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LaGéométriepeut être envisagéeà deux points 

 de vue difïérents. Tout d'abord elle est l'œuvre 

 des mathématiciens. Ceux-ci, ayant pour but la 

 construction d'un édifice logique et complet, 

 introduisent en Géométrie des êtres déraison, 

 qui, bien qu'ayant été manifestement imposés à 

 l'esprit humain par le contact avec l'univers 

 extérieur, n'existent cependant pas réellement. 

 Nous ne trouvons dans la nature ni le point, ni 

 la ligne, ni la surface, ni même le volume 

 parfaitdu géomètre. Non content d'avoir ainsi 

 dégagé ces concepts de la réalité, le mathémati- 

 cien s'est même rapidement habitué à substituer 

 auxpointsdes groupesde coordonnées, aux lignes 

 et aux surfaces des équations, aux volumes des 

 inégalités. 



A l'aide de ces êtres de raison, le géomètre 

 construit un édifice logique en prenant poiTr 

 base un certain nombre minimum de propriétés 

 qu'il admet et qu'il appelle des postulats. Cer- 

 tains de ces postulats sont au fond des défini- 

 tions des termes employés ; quant aux autres, on 

 s'est efforcé longtemps d'en réduire le nombre 

 et de démontrer quelques-uns d'entre eux en les 

 faisant découler de postulats antérieurs d'un 

 caractère plus intuitif. Bien que les efforts faits 

 dans ce sens soient souvent restés infructueux, 

 il persistait l'idée que certains postulats, comme 



1. C inimunication pr**8en(ée à la Section slriisbourpCeoise 

 de la Société de Physique, le 20 janvier 1922. 



celui d'Euclide par exemple, étaient nécessaires 

 et qu'ilétait impossible de s'en passer. Ce n'est 

 que plus tard que des géomètres de génie ont 

 démontré rigoureusement que l'on pouvait reje- 

 ter ces postulats et que l'édifice complet gardait 

 néanmoins son caractère logique. Autrement 

 dit, le mathématicien était arrivé, à partir des 

 êtres de raison introduits par lui, à construire 

 toute une série de Géométries également soli- 

 des et belles, différant seulement par les postu- 

 lats de base. Nouslesappellerons les géométries 

 pures; parmi elles nous en retiendrons plus spé- 

 cialement deux :'Ia géométrie euclidienne et la 

 géométrie de Riemann. Ces deux géométries ont 

 les mêmes bases; seul, dans la seconde, le pos- 

 tulatum d'Euclide est remplacé par un énoncé 

 admettant que deux droites ont toujours un 

 point commun, quelles que soient leurs positions. 



Les physiciens considèrent la géométrie à un 

 tout autre point de vue. Ils font, eux, de la géo- 

 métrie expérimentale ; ils mesurent des lon- 

 gueurs, des surfaces, des volumes, des angles 

 en les prenant dans l'univers lui-même et non 

 en les regardant comme un jeu de leur esprit. 

 On peutdonner un nom spécial à leur géométrie, 

 l'appeler si on veut la géométrie naturelle. Ce 

 n'est du reste pas l'édifice parfait du mathéma- 

 ticien : les mesures faites sont entachées d'er- 

 reurs inévitables, mais les physiciens s'estiment 

 satisfaits s'ils en connaissent les limites. Ce 

 qu'ils demandent alors au mathématicien, c'est 

 de leur indiquer, parmi toutes les géométries 

 pures imaginées par celui-ci, quelle est celle 

 qui s'adapte le mieux à la géométrie naturelle. 



Pendant longtemps, on a été persuadé que 

 c'était la géométrie classique d'Ruclide qui rem- 

 plissait le mieux ce but. Evideuiment, il était 

 hors de notre pouvoir de le démontrer en toute 

 rigueur, mais les vérifications expérimentales 

 qu'on en pouvait faire : mesure de la somme des 

 angles d'un triangle, contrôle du théorème de 

 Pythagore, etc., se faisaient avec une précision 

 telle qu'on pouvait en toute bonne foi attribuer 

 les différences légères constatées uniquement 

 aux erreurs inévitables des mesures. • 



Prenons pour bien préciser une de ces vérifi- 

 cations. Imaginons que nous ayons une série de 

 cubes (au sens euclidien du mot), de mêmes 

 dimensions, et juxtaposons-les en pensée en 

 accolant leurs faces deux à deux à la faf;on des 

 enfants qui font des châteaux. La géométrie 



