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R. THIRY. — SUR LA POSSIBILITÉ DE SE REPRÉSENTER L'ESPACE FINI 



pure euclidienne nous apprend qu'une telle opé- 

 ration est toujours possible, que les vides créés 

 entre les différents cubes se trouveront comblés 

 exactement par des cubes nouveaux et qu'à la 

 pyramide ainsi construite rien ne nous empê- 

 chera d'ajouter sans cesse de nouveaux élé- 

 ments. On réalise ainsi unesorte de pavage indé- 

 fini de l'espace. Si nous faisions l'expérience, si 

 nous construisions en un métal parfaitement 

 poli des cubes égaux en nous entourant de toutes 

 précautions pour qu'ils soient presque parfaits, 

 pour qu'ils ne se dilatent ni ne se déforment, la 

 géométrie naturelle nousapprendraitsans aucun 

 doute que la même construction est possible, et 

 si quelque puissant microscrope nous montrait 

 un léger vide entre deux cubes voisins, nous 

 attribuerions cette erreur à un défaut de cons- 

 truction des solides plutôt qu'à un vice de la 

 géométrie employée. Bien plus, bien que ne pou- 

 vant faire une telle expérience que dans un 

 champ restreint, avec des cubes en nombre fini, 

 nous nous représentons que la géométrie expéri- 

 mentale nous permettrait de la continuer indé- 

 finiment, tout comme la géométrie pure qui nous 

 a servi de guide. C'est dans ce sens que nous 

 dirons que nous vivons dans un univers eucli- 

 dien, infini et sans bornes, car rien ne limite le 

 nombre des cubes élémentaires qui y peuvent 

 trouver place. 



Mais ici interviennent les relativistes, qui 

 nous tiennent à peu près ce langage : « Vous 

 « êtes dans l'erreur, nousdisent-ils ; d'abord il 

 « n'y a pas de cubes dans la nature, il ne peut 

 « pas y en avoir, il n'existe pas de solides ayant 

 « six faces carrées égales. Ce que vous construi- 

 « sez n'est qu'une ébauche imparfaite. Vptre 

 « expérience paraît évidemment confirmer vos 

 « idées, mais c'est parce que vous la commen- 

 « cez seulement ; si vous étiez les maîtres 

 « de la poursuivre indéfiniment, vous verriez 

 « que votre échafaudage ne serait plus possible, 

 « que vos soi-disant cubes refuseraient de s'a- 

 « dapter les uns dans les autres. Et, bien plus, 

 « nous affir.mons que si vous vouliez poursuivre 

 i< votre pavage de l'espace en déformant même au 

 « besoin, pour qu'ils s'adaptent mieux entre eux, 

 « vos solides élémentaires (en leur conservant 

 « le même volume naturellement), nous affîr- 

 n mons que votre opération s'arrêterait, que 

 « vous vous buteriez à quelque chose qui vous 

 « empêcherait de la continuer. Ce quelque 

 « chose serait tout simplement les cubes déjà 

 « placés et il viendrait un moment où, bouchant 

 « le dernier trou, sans avoir jamais rencontré 

 « d'autres obstacles que ceux placés par vos 

 « propres mains, vous auriez rempli tout l'uni- 



« vers à l'aide d'un nombre fini de solides de 

 « même volume. Cène sont pas les lois delà 

 « géométrie d'Euclidc que vous devez prendre 

 « comme guide de la géométrie naturelle, mais 

 « bien celles de la géométrie de Riemann. » 



Evidemment, à de telles affirmations nous pou- 

 vons toujours répondre que nous main tenons notre 

 point de vue euclidien tant qu'on ne nous aura 

 pas donné de raisons sérieuses d'en changer. C'est 

 à l'expérience de décider, et je n'ai pas la pré- 

 tention de rechercher ici si les relativistes ont 

 apporté déjà l'expérience cruciale nécessaire 

 ou s'ils sont capables de l'apporter dans un 

 avenir prochain. 



Néanmoins... s'ils avaient raison ; une curio- 

 sité bien naturelle nous pousse à examiner de 

 plus près leurs affirmations. Localement, et si 

 nous ne sommes pas dans un champ de forces 

 tropgrand, l'univers est euclidien avec une pré- 

 cision dépassantde beaucoup celle de nos mesu- 

 res. Mais l'homme a toujours cherché à englober 

 l'Univers dans une vue unique ; avec l'univers 

 euclidien déjà, ses efforts dans ce sens ne sont 

 pas toujours couronnés de succès et son esprit 

 vacille bien un peu devant l'infini, mais que serait- 

 ce avec l'univers riemannien, et pouvons-nous 

 imaginer l'impression que cet univers nous 

 ferait si nous n'étions pas attachés à la Terre, 

 si nous vivions très longtemps et si nous pou- 

 vions le parcourir entièrement pour apprendre 

 aie connaître comme on apprend à connaître 

 la topographie d'une ville ? 



Pour préciser les idées, servons-nous d'une 

 fiction classique. Imaginons des êtres infiniment 

 plats vivant sur une surface, n'ayant aucune 

 notion de ce qui se passe en dehors; ces êtres, 

 supposés intelligents, construiront comme nous 

 des géométries, mais à deux dimensions seule- 

 ment, et nous concevons bien que s'ils habitent un 

 plan ils auront conscience d'un univers infini; si 

 au contraire ils habitent une sphère ou un tore, 

 ils pourront en un temps fini prendre contact 

 avec tout leur domaine sensible; celui-ci leur 

 paraîtra fini sans cependant qu'ils aient jamais 

 rencontré d'obstacles le bornant. 



Il est vraisemblable, par suite, que si nous 

 pouvions acquérir la notion d'une quatrième 

 dimension, tout ce qui se passe dans notre uni- 

 vers actuel prendrait pour nous un aspect nou- 

 veau et que l'univers fermé des relativistes nous 

 semblerait une conception aussisimple que celle 

 d'une sphère vue de notre espace à trois dimen- 

 sions. 



Cette quatrième dimension n'est pas pour 



