ET SANS BORNES DE LA THEORIE DE LA RELATIVITE 



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embarrasser le mathématicien, qui raisonnera 

 aussi bien sur des groupes de quatre coordon- 

 nées que sur des groupes de trois. Mais alors 

 que les êtres de raison de la géométrie pure à 

 trois dimensions ont une base dans la géométrie 

 naturelle, ceux de la géométrie à quatre dimen- 

 sions n'en ont plus aucune, et les théorèmes 

 en restent, pour tout esprit non prévenu, des for- 

 mules vides de tout sens physique. Est-il donc 

 impossible, sans sortir de notre espace tridimen- 

 sionnel, de concevoir l'univers sphérique de 

 Riemann ? 



Pour arriver à ce but, M. lunstein se sert d'une 

 image très élégante '. Reprenons les êtres à 

 deux dimensions d,e tout à l'heure et imaginons- 

 les se mouvant sur une sphère. Supposons qu'au 

 lieu de cubes ils s'amusent à juxtaposer deux à 

 deux une série de petits disques circulaires ou 

 plutôt de petites (-alotles sphériques égales . Si 

 nous étions dans un pian, on sait fort bien 

 qu'au tour de chaque disque viendraient se ranger 

 six autres disques tangents deux à deux et que 

 rien n'empêcherait de continuer indéfiniment 

 cette mosaïque. Sur la sphère il n'en sera plus 

 de même; si les disques sont très petits par rap- 

 porta» rayon de la sphère, les premiers paraîtront 

 bien se ranger suivant la loi indiquée avec des 

 erreurs imperceptibles; mais à la longue ces 

 erreurs s'accumuleront jusqu'au moment où on 

 ne pourra plus les attribuer à un défaut de pré- 

 cision de l'expérience, et à cela les êtres recon- 

 naîtront qu'ils ne sont pas dans un plan. Au bout 

 d'un certain temps du reste, ils auront rempli 

 complètement leur sphère de petits disques, ils 

 s'arrêteront ayant conscience que leur univers 

 n'est pas euclidien, qu'il est flni et sans bornes. 

 Supposons maintenant que nous menions à la 

 sphère un plan tangent en un de ses points A et 

 qu'au point diamétralement opposé B nous pla- 

 cions une source lumineuse puissante qui donne 

 de tout ce qui se passe sur la sphère une ombre 

 portée sur le plan. Les ombres des petits disques 

 seront encore sur le plan limitées par des circon- 

 férences (le passage de la sphère au plan n'est 

 autre chose qu'une inversion ; celles de ces cir- 

 conférences qui sont au voisinage de A auront 

 sensiblement le même rayon que les petits dis- 

 ques de la sphère, celles au contraire qui sont à 

 une certaine distance (euclidienne) r du point A 

 seront d'autantplus grandesque/' seraplus grand 

 et il est facile devoir qu'elles auront subi une 

 dilatation linéaire par rapport aux précédentes 



égale à 1 -|- 7 — 5 ")• Imaginons maintenant ce plan 



î. Einstein : Ln géométrie et l'expéi-ience (Paris, Gauthier- 

 Villars). 

 2. «désigne le rayon de la sphère. 



peuplé de corps et d'êtres soumis eux-mêmes à 

 cette même loi de dilatation, c'est-à-dire augmen- 

 tant de dimension dans le rapport précédent en 

 s'écartantde A; il est évident que ces êtres cons- 

 truiront une géométrie expérimentale en tous 

 points identique à celle créée par les habitants 

 de la sphère. Quanta leurs variations de granr 

 deur,elles n'existentque pour nous qui considé- 

 rons la chose d'un point de vue euclidien ; pou- 

 eux, il leur sera impossible de s'en apercevoir, 

 car tous leurs instruments de mesure se défor- 

 meroiit dans les mêmes conditions; ils conclu- 

 ront donc tout comme les êtres de la sphère à 

 un univers non euclidien, fini et sans bornes. 



Ornons pouvons étendre notre procédé de défi- 

 nition de ces êtres bizarres à tout l'espace eucli- 

 dien à trois diinensions, en convenant que les 

 variations de grandeur mentionnées plus haut 

 auront lieu dans toutes h^s directions autour du 

 point A. Ces êtres auront l'impression d'être dans 

 ununivers à trois dimensions, non euclidien, fini 

 et sans bornes; la géométrie naturelle dontleurs 

 physiciens se serviront devra prendre comme 

 guide la géométrie sphérique de Riemann. 



Si nous pouvons nous mettre à leur place et 

 réaliser leurs sensations, nous connaîtrons ainsi 

 l'univers de la théorie de la relativité. M. Einstein 

 prétend que cette adaptation se ferait facilement 

 et qu'au bout de quelques instants nous nous 

 sentirions très à l'aise, il y a quelque cinquante 

 ans, Helmholtz, discutant des idées analogues, 

 seservaitd'une comparaison frappante. Lorsqu'on 

 regarde des objets à travers une lentille ou que 

 l'on met pour la première fois des lorgnons trop 

 forts, la perception de la position relative des 

 corpsen profondeur est faussée et les lignes droi- 

 tes vues au bord de la lentille sont fortement 

 incurvées ; puis, au bout de quelques instants, 

 cette apparence disparaît elles sens s'habituent 

 tellement bien à la déformation qu'ils ne l'enre- 

 gistrent même plus. Helmholtz prétend que dans 

 l'univers riemannien l'adaptation serait aussi 

 aisée. 



Nous pouvons ainsi imaginer l'espace habité 

 par deux races d'êtres différents : les uns (nous 

 parexemple) à conception euclidienne, les autres 

 à conception riemannienne de la catégorie de 

 ceux dont venons de parler. 11 est vraisemblable 

 qu'il s'ouvrirait entre ces deux races une série de 

 discussions dont les polémiques actuelles sur la 

 relativité ne peuvent donner qu'une faible idée. 

 Les Euclidiens essayeraient de faire constater 

 aux Riemanniensleurschangementsdegrandeur. 

 Ceux-ci leur répondraient par l'histoire de la 

 paille et de la poutre, et les plaisanteraient sur 

 leur propriété ridiculcde devenir de plus en plus 



