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R. THIRY. — SUR LA POSSIBILITE DE SE REPRESENTER L'ESPACE FINI 



petits en s'éloignant du point A. Et si les Eucli- 

 diens reprenaient nos cubes de tout à l'heure et 

 voulaient leur faire toucher du doigt l'infinité de 

 l'espace, les Riemanniens hausseraient les épau- 

 les en répondant: «Vous nous servez un vieux 

 « paradoxe; du temps de Zenon on prétendait 

 « démontrer qu'Achille ne rattraperait jamais la 

 « tortue en accumulant dans un intervalle de 

 « temps fini une suite in finie d'intervalles élémen- 

 « taires de plus en plus petits ; vous reprenez le 

 « paradoxe en voulant démontrer qu'un volume 

 « fini est infini parce que vous pouvez y accumu- 

 « 1er en nombre infini des solides élémentaires 

 « tendant vers zéro. » 



Si les êtres plats vivant sur la sphère du début 

 s'étaient trouvés sur une île de petite dimen- 

 sion sans pouvoir en sortir, à eux aussi l'univers 

 eût semblé euclidien en première approximation 

 et ils auraient sans doute adopté la géométrie 

 euclidienne comme guide par raison de commo- 

 dité. Imaginons qu'un jour de hardis explo- 

 rateurs ont quitté l'île, ont parcouru le large, 

 dressé des cartes des continents rencontrés, pen- 

 sant ainsi seulement agrandir un peu le champ 

 de leur connaissance de l'univers infini. Puis un 

 beau jour ils se sontaperçus avec émotion qu'ils 

 avaient tout repéré, tout catalogué. Ils ont un 

 moment douté de leur raison et il leur a fallu 

 certainement un elfort considérable pour s'ha- 

 bituera l'idée qu'ils vivaient dans un monde fini. 



Nous aussi, nous sommes dans une île minus- 

 cule, c'est une île flottante, il est vrai, mais si on 

 compte le temps seulement par durées de vies 

 humaines ou mêmeparduréesde races humaines, 

 son déplacement est insensible relativement aux 

 distances énormes qui séparentles astres. De har- 

 dis explorateurs viennent, en pensée seulement, 

 hélas, de quitter l'île, ils ont cru voir la vérité 

 et, si nous avons le droit de réserver encore notre 

 opinion, nous ne pouvons pas leur refuser un juste 

 tribut d'admiration. 



Ce qu'il faut retenir, à mon avis, de ces considéra- 

 tions, c'estl'absence de signification du mot espace 

 indépendamment des corps qui s'y trouvent. 

 Suivant les propriétés de ces corps, l'espace 

 paraîtra euclidien ou courbe, fini ou infini. Ces 

 mots : l'espace est ou n'est pas euclidien, est on 

 n'est pas infini ne peuvent avoir qu'une significa- 

 tion relatis'e à la géométrie naturelle des êtres qui 

 s'y meuvent. 



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 » * 



Il est encore possible, sans abandonner la con- 

 ception euclidienne de la mesure, d'arriver à la 

 représentation d'un espace fermé, qui ne sera 

 plus l'univers sphérique de Riemann, mais dont 

 je tiens à dire un mot à titre de curiosité. 



Reprenons encore des êtres à deux dimensions 

 à conception euclidienne habitant un plan et 

 supposons que dans ce plan la disposition des 

 objets qui s'y trouvent soit périodique, c'est-à- 

 dire qu'on puisse ledécomposer en bandes paral- 

 lèles telles que deux bandes présentent identi- 

 quement le même aspect à une translation près. 

 Représentons-nous parcourant ce domaine : il est 

 bien évident que nous aurons la même impres- 

 sion que si nous élious sur un cylindre. Si par 

 hasard nous avions des doutes sur ce point, 

 nous ferions dans la bande où nous serions des 

 repères de façon à être assurés de reconnaître 

 plus tard les objets ; supposonsmaintenant qu'un 

 être très habile, une sortede démon deMaxwell, 

 assistant à nos ell'orts s'amuse à répéter fidèle- 

 ment dans les bandes voisines les modifications 

 faites par nous dans la première. Oh alors, nos 

 Joutes seraient levés, nous serions certains de 

 vivre dans un espace à deux dimensions à con- 

 nexion cylindrique, et si quelqu'un nous disait 

 ((u'au lieu de nous croire sur un cylindre, 

 nous pouriions nous croire dans un plan à con- 

 dition d'imaginer l'être extérieur qui s'amuse à 

 nous troubler, nous rejetterions évidemment cette 

 dernière hypothèse comme la plus compliquée 

 des deux. 



Imaginons de plus maintenant que la distribu- 

 tion des objets dans le plan soit doublement 

 périodique, c'est-à-dire que chacune des bandes 

 à son tour soit divisée en rectangles identiques; 

 pour des raisons analogues, notre cylindre nous 

 paraîtrait se recourber sur lui-même et nous 

 aurions l'impression d'être sur un tore. 



Or ce procédé se généraliseévidemment à trois 

 dimensions : imaginons-nous dans un espace 

 découpé, au sens euclidien du mot, en parallélipi- 

 pèdes rectangles, peuplés d'objets de disposition 

 identique; untelespace nous apparaîtrait comme 

 fermé, nous pourrions mesurer son volume total, 

 nous n'y trouverions pas de bornes, il aurait la 

 connexion de ce qu'on peut appeler un hyper- 

 tore et localement il serait rigoureusement 

 euclidien. 



Un tel univers aurait du reste des propriétés 

 fort bizarres où les mombres entiers joueraient 

 un grand rôle. Pour ne signaler qu'une de ces 

 propriétés et sans insisterdavantage, supposons 

 que les êtres qui l'habitent construisent un 

 mur parallèlement au plan de l'une des faces des 

 parallépipèdes ; comme dans les cases voisines 

 leurs gestes se trouveront fidèlement répétés, au. 

 bout d'un certain temps ils trouveront des pier- 

 res q\i'ils croiront avoir été placées par eux et ils 

 auront l'impression d'avoir construit une surface 

 complètement formée. Or cependantils pourront, 



