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R. d'ADHÉMAR. — LA DÉMONSTRATION SCIENTIFIQUE 



Le nombre v2 n^ sera plus' la mesure de la 

 diagonale du carré dont le côté est un, notion 

 intuitive. Le nombre ^'2 devient la coupure de 

 2 suites infinies de nombres définis antérieure- 

 ment. Et ensuite, passant à l'application géo- 

 métrique de l'Analyse, c'est cette coupure qui 

 devient la définition de la longueur de la dia- 

 gonale. 



La Mathématique a obtenu ainsi des démons- 

 trations parfaites, en restreignant la dose de 

 l'intuition (pour la démonstration — je ne parle 

 pas de la découverte) et en faisant plus grande la 

 part de la, définition. M. Gaston Milhaud a écrit, 

 sur ce renversement des anciennes habitudes, 

 des livres déjà anciens et toujours lumineux'. 

 Cela me dispense d'insister. 



Il faut noter un fait capital, concernant l'appli- 

 cation géométrique: c'estl'existence des Géomé- 

 tries non euclidiennes. 



On cherche toujours à énoncer explicitement 

 tous lespostulats de la Géométrie ordinaire, clas- 

 sique, mais c'est extrêmement difficile parce qu'il 

 s'agit d'une lente élaljoration de l'esprit sur l'ex- 

 périence accumulée des générations quant aux 

 corps solides. Certains postulats ont pu passer 

 dans l'inconscient, et n'en avons-nous pas mis, 

 sans le savoir, dans les mots que nous em- 

 ployons ? 



De tous nos postulats, le plus fameux est 

 celui qui concerne la parallèle à une droite ; c'est 

 le Postulat d'Euclide, si mal nommé : « par un 

 point, on peut mener une parallèle à une droite, 

 et une seule ». 



Des savants hardis ont supposé qu'on ne pou- 

 vait mener aucune parallèle, ou bien qu'on pou- 

 vait en avoir une infinité, et leurs constructions 

 logiques sont cohérentes. On a fait des Géomé- 

 tries non euclidiennes logiquement valables, 

 mais on pouvait se demander si, un beau jour, 

 on ne se heurterait pas à une contradiction ? 



Henri Poincaré a démontré que nous sommes 

 sûrs de n'être pas arrêtés, dans cette voie-. 



L'existence d'une infinité de Géométries diffé- 

 rentes prend de l'importance, au moment oii 

 Einstein introduit, non pas, il est vrai, des espaces 

 non euclidiens, mais des univers non euclidiens, 

 l'existence du point matériel étant équivalente 

 aune déformation locale, en un point, d'un'uni- 

 vers '■'. 



Pour notre objet actuel, retenons d'abord que 



1. Essai sur la Certitude logique, chez Alcaa, 18S)4; Le 

 Rationnel, Alcan, 1898. 



2. La Science de l'Hypothèse, pages 57 et 58; E. Flanimn- 

 rion, SibHothèqtie de Philosopliie scUnti/ujiie. 



J. Emilk Picaho, brochure citée, p. l'J. 



la certitude logique de la démonstration mathé- 

 matique repose sur un formidable travail d'abs- 

 traction, ensuite qu'au seuil même de l'applica- 

 tion, on se trouve en présence d'une infinité de 

 Géométries logiques et cohérentes : une infinité 

 de théories physiques de l'espace. 



Nous mentionnerons aussi un caractère spé- 

 cial de la théorie analytique, la possibilité fré- 

 quente d'un renversement dans l'ordonnance des 

 idées. Qu'il s'agisse, par exemple, de l'ellipse 

 ou du sinus, etc., je pars d'une définition A et 

 j'obtiens un théorème B. Je pourrai, souvent, 

 prendre la propriété B pour définition et alors la 

 définition A deviendrait un théorème démontré. 



Les sciences mathématiques — ce n'est pas 

 contesté — ont pris naissance à la suite d'une 

 réflexion séculaire sur les propriétés pratiques 

 des solides que nous touchons et manions, des 

 triangles que nous arpentons, etc. 



Mais, perfectionnées par l'élaboration savante 

 de définitions synthétiques, les Mathématiques 

 ont pris, peu à peu, l'aspect d'un jeu de symboles 

 nets, précis : jeu très difficile, jeu d'imagination 

 et de logique, de finesse et de puissance, jeu aus- 

 tère! On peut dire « jeu » ou « spéculation » 

 parce qu'on se meut dans l'abstrait (extrait du 

 réel, généralisé, étendu...) et ensuite parce 

 que — nous venons de le dire — certains points 

 de départ sont arbitraires ; l'ordonnance de cer- 

 taines théories est réversible. 



Nous devons rechercher, maintenant, s'il existe 

 des caractères semblables ou analogues, dans la 

 Mécanique, dans la Physique ? 



La Mécanique 



Dans la -Mécanique classique, il faut définir la 

 force statique, dont l'idée première provient de la 

 sensation d'eff'ort musculaire, et il faut définir la 

 force dynamique qui, d'après le Principe de 

 l'Inertie, est introduite (par définition) chaque 

 fois que le mouvement d'un point matériel isolé 

 n'est pas, à la fois, rectiligne et uniforme. Les 

 forces statiques et les forces dynamiques présen- 

 tent, en outre, des analogies permettant de les 

 assimiler (Principe de d'Alembert). 



Mais celui qui veut exposer les éléments de la 

 Mécanique classiciue se trouve i^nmédiatement 

 dans des broussailles enchevêtrées et téné- 

 breuses; il n'est pas, je crois, deux savants sui- 

 vant la même piste et il n'existe pas un seul 

 exposé satisfaisant tout le monde L'auteur, lui- 

 même, se juge sévèrement et se reconnaît impuis- 

 sant : les principes de la Mécanique sont terri- 

 blement subtils. 



La définition de la force est toujours critiquée. 



