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Jules ANDRADE. — PROBLKMES MECANIQUES 



du spiral cylindrique à l'état naturel, la portion 

 régulière des spires reste circulaire à l'approxi- 

 mation de fjI; et, à la même approximation, les 



réactions de chaque encastrement sur le spiral 

 sont un couple pur identique au moment trans- 

 mis par la virole au balancier; ce dernier a 



El 

 pour valeur — -r- u, pour l'écart u du balancier. 



Enfin le centre de gravité du spiral modelé en 

 courbes terminales symétriques demeure sur 

 l'axe du balancier, et la déformation statique du 

 ressort spiral reste une déformation de flexion 

 simple. A retenir que le calcul de Phillips néglige 

 toutes actions longitudinales élastiques du res- 

 sort; sans doute celles-ci ne fournissent pas de 

 moment par rapport à l'axe du balancier, mais 

 elles peuvent modifier les pressions sur la tête 

 du pivot de cet axe. 



A côté de la découverte de l'Anglais Arnold, il 

 est juste de rappeler que le Français Pierre Le 

 Roy a réalisé un isochronisme pratique du spiral 

 purement cylindrique; sa méthode, précisée et 

 justifiée par Caspari, consiste à donner tout 

 simplement au spiral cylindrique une étendue 

 angulaire égale à un multiple impair et suffisam- 

 ment élevé de quarts de tour; en d'autres 

 termes : l'étendue angulaire P du ressort est 



P = (2« ± 1) :: radians (n étant un nombre 



entier). 



Mais cet isochronisme approché est un iso- 

 chronisme qui n'est pas sinusoïdal, ce qui lui 

 enlève une partie de sa sécurité à l'égard des 

 perturbations secondaires des frottements, sur- 

 tout pour l'inconstance des frottements due à la 

 vieillesse des huiles. 



A côté des travaux de Phillips, et quoique 

 moins connus des horlogers, les travaux théori- 

 ques de Villarceau sont venus éclairer les génia- 

 les divinations d'Arnold et fournir une théorie 

 d'ensemble sur la compensation aux températu- 

 res. C'est encore à Villarceau, semble-t-il, que 

 l'on doit cette remarque, qu'un frottement cons- 

 tant n'introduit aucune perturbation sérieuse 

 dans l'isochronisme des vibrations qui ont la 

 régularité pendulaire, et alors même que celles-ci 

 ne sont pas entretenues. J'aurai l'occasion, à la 

 fin de cet article, de compléter et de généraliser 

 cette précieuse remarque et de rattacher ainsi à 

 la remarque si simple de Villarceau des consé- 

 quences pratiques très intéressantes pour la 

 chronométrie et pour diverses mesures physi- 

 ques nouvelles. 



Pour l'instant, complétons le rappel des étu- 

 des théoriques de la chronométrie qui ont surgi 



en France de 1860 à 1876 à la suite des travaux 

 de Phillips. 



Résal, pluspréoccupé, il est vrai, du ressort du 

 gros rouage que du délicat spiral réglant, a re- 

 marqué que la théorie mathématique d'un spi- 

 ral plan, circulaire à l'état naturel, peut se rat- 

 tacher très simplement à l'étude de la flexion 

 plane; cette remarque, qui ne devait pas être 

 d'une très grande utilité pour l'étude pratique 

 et fort pénible du ressort de barillet, fut pieu- 

 sement recueilliepar Caspari qui admirait beau- 

 coup Résal et me l'a souvent répété. 



En suivant ainsi, pas à pas, la marche des cal- 

 culs de Résal, Caspari eut la bonne fortune d'y 

 rattacher une intéressante justification de la 

 méthode de Le Roy. 



Ces justifications théoriques, en retard déplus 

 d'un siècle sur l'œuvre des inventeurs, ont néan- 

 moins grandement intéressé les horlogers ; mais 

 aux travaux ehronométriques que nous venons 

 de citer nous devons ajouter la plus importante 

 des découvertes de Phillips. 



Reportons-nous une dernière fois à la photo- 

 graphie de la figure 1, et regardons-y encore le 

 petit balancier compensateur des montres, et sa 

 bague bi-métallique fendue. 



Que cette bague soit fendue, c'est, comme 

 nous l'a appris Villarceau, une nécessité impé- 

 rieuse pour le mécanisme même de la compen- 

 sation thermique, mais que cette bague soit 

 fendue c'est là aussi une circonstance très in- 

 quiétante pour cette sécurité de l'isochronisme 

 que nous réclamons aujourd'hui avec juste titre 

 aux machines horaires de haute précision ; voici 

 en eiïet le danger de la baguefendue constituant 

 le balanciercompensateur. Cette bagué est néces- 

 sairement déformable dans le cours même d'une 

 oscillation du balancier ; or parmi les forces 

 capables d'accentuer cette déformation figure la 

 force centrifuge, variable avec la vitesse angu- 

 laire du balancier; d'ailleurs, cette perturbation 

 serasurtoutsensiblesurles chronomètres marins, 

 eu égard à la grosseur de leurs masses compen- 

 satrices; Phillips fit le calcul de cette déforma- 

 tion, modifiant d'un instant à l'autre, dans une 

 même oscillation, le balancier réglant et son mo- 

 ment d'inertie; puis Phillips compléta ce calcul 

 en cherchant la variation que cette perturbation 

 peut apporter à la durée même de l'oscillation 

 lorsque l'amplitude de régime de la montre vient 

 à varier, comme on le fait d'habitude, Phillips 

 rapporta le résultat du calcul non pas à une vi- 

 bration isolée, mais àla durée d'un jour complet, 

 soit 86.400 secondes du temps solaire moyen ; 

 or ce calcul de Phillips nous apprend que, pour 

 une variation de la semi-amplitude de l'oscilla- 



