538 



CHRONIQUE ET CORRESPONDANCE 



de chimistes appréciés, Emilio Noelting a bien niérilé 

 de la science. 



Le Gouvernement français le nomma longtemps avant 

 la guerre ollicier de la Légion d'iionneur. Nombreuses 

 furent les distinctions de reconnaissance que lui décer- 

 nèrent les sociétés scienliliques. 



M. Battegay, 



. Professeur à l'Ecole supérieure de Chimie 



de la Ville de Mulhouse. 



§ 2. — Mathématiques 



La généralisation des fonctions analyti- 

 ques. — Parmi toutes les fonctions de variables réelles, 

 les fonctions analytiques peuvent être définies par le 

 double fait : 



qu'elles admettent des dérivées de tous ordres ; 



que la dérivée n« croît plus lentement, en fonction 

 de rt, qut l'expression A"« !, A désignant une constante. 



De telles fonctions peuvent être prolongées analyli- 

 quement, c'est-à-dire que, si on connaît les valeurs de 

 l'une d'elles dans une partie (a, c) de l'intervalle (o, h) 

 dans lequel elles satisfont à la double condition précé- 

 dente, ses valeurs dans la partie restante (c, b) sont par 

 cela même parfaitement déterminées : il sullit même, 

 pour cela, que l'on connaisse en c les valeurs numéri- 

 ques de la fonction et de toutes ses dérivées. 



M. Borel a, depuis longtemps déjà, montré que cer- 

 taines classes de fonctions autres que les fonctions ana- 

 lytiques partagent avec elles celte propriété de se pro- 

 longer d'une manière unique, de telle sorte qu'on ne 

 puisse se donner leurs valeurs dans un intervalle («, c), 

 sans que leurs valeurs dans un intervalle adjacent (c, b) 

 soient, en conséquence, parfaitement déterminées. 



La théorie des équations aux dérivées partielles con- 

 duisit à voir les choses sous un jour nouveau, en intro- 

 duisant des classes de fonctions (a classes k ») dont la 

 définition est très analogue à celle des fonctions ana- 

 lytiques. Elles sont, en effet, caractérisées, comme 

 celles-ci, par l'existence de dérivées de tous les ordres 

 assujetties à une limitation de croissance, mais moins 

 restrictive que dans le cas des fonctions analytiques, 

 savoir 



\f("}(x)\ <K(«!)» 



K étant une constante positive et a une constante plus 

 grande * que i . 



Or une telle limitation, contrairement à ce qui arri- 

 vait pour a = I, ne suffit pas à entraîner l'unicité du 

 prolongement analytique. Une fonction peut avoir des 

 dérivées de tous les ordres vérifiant l'inégalité précé- 

 dente et s'annulant toutes pour or =: o, sans être identi- 

 quement nulle dans l'intervalle (o, i), par exemple. 



La question se posait dès lors tout naturellement de 

 savoir quelles sont les fonctions }-('i) telles que l'iné- 

 galité 



I l<">M I < fin), 

 vérifiée pour toute valeur de n et pour toutes les va- 

 leurs de X comprises dans l'intervalle (o, i), entraîne 



l'évanouissement identique de /(n) si toutes les quan- 

 tités /("((o) sont nulles. On pouvait même se demander 

 si l'on pouvait, pour une telle fonction t(n), admettre 

 une loi de croissance plus rapide que A'^/i!, c'est-à-dire 

 que celle qui correspond aux fonctions analytiques. - 



C'est à cette question que les notes de notre compa- ' 

 triote M. Denjoy et d'un jeune géomètre suédois, M. I. 

 Carleman, ont eu pour objet de répondre. Ces travaux 

 ont établi que la fonction j-(«) remplit nécessairement la 



condition demandée si la série ^ ;: 



1 . Celte même inégalité, pour Oî 

 onctious entières de genre fini. 



: « <C 1 » caractériserait les 



: est divergente. 



On peut, par exemple, prendre «.(n)^ n! (log «)■", quan- 

 tité qui croît plus vite que A^n !, quel que soit A. 



11 resterait à examiner si la réciproque de cette pro- 

 position est vraie, c'est-à-dire si à toute fonction ç:(«) telle 



que la série > ,^ soit convergente, si lente que soit 



"' V ?(«) 

 cette convergence (supposée régulière), on peut faire 

 correspondre une fonction f, non identiquement nulle, 

 mais s'annulant cependant, avec toutes i^es dérivées, 

 pour .r :=: o et satisfaisant, pour rf < n f= i , à l'inégalilé 

 I f(")(x) I il' f(n), quel que soit n. 



Dans une note récente, M. Carleman élargit la question 

 d'une manière tout à fait remarquable en en rappro- 

 chant celle des développements asymptotiques, autre- 

 ment dit des séries de Taylor à rayon de convergence 

 nul de M Borel. Soit, en e.ffet, /'(s) une fonction repré- 

 sentée asyniptoliquement, de manière que la somme 

 /,i(ï) des n premiers ternies en soit une expression ap- 

 prochée pour z très petit : M. Carleman imagine qu'on 

 se donne l'ordre de grandeur de l'erreur commise en 

 fonction de n et cherche quelles conditions il faudra 

 imposer à cet ordre de grandeur pour que (le dévelop- 

 pement asymptotique étant donné d'autre part) /(r) soit 

 déterminé. 



En même temps, l'auteur annonce qu'il a obtenu 

 d'importantes simplifications dans la démonstration de 

 ses résultats précédents. 



Rappelons, en terminant, qu'un autre aspect de la 

 question est encore donné par le si curieux théorème 

 de M. Serge Bernstein, d'après leque\, pour qu'une fonc- 

 tion soit analytique dans un intervalle, il suffit que tou- 

 tes ses dérivées existent et soient positives dans cet inter- 

 valle, sans qu'on ait alors besoin de faire aucune 

 hypothèse sur leur ordre de grandeur. 



S 3. 



S 



Chimie physique 



Perméabilité sélective des membranes po- 

 larisées. — M. Pierre Girard ' a établi la propriété 

 suivante : 



Soit un couple liquide constitué par deux solutions, 

 inégalement concentrées, d'unélectrolyte acide ou basi- 

 ques, et soit n la tension de ce couple, mesurée par 

 la méthode d'oppositioii, avec l'électromèlre capillaire 

 comme appareil de zéro. Si, entre les éléments du cou 

 pie, on interpose un seplum en vessie de porc, très 

 soigneusement débarrassé de toute trace d'électrolyte, 

 la tension devient 11', plus grande ou plus petite que FI. 



'1. Journal de Chimie Physique, novembre 1919. 



