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BIBLIOGRAPHIE - ANALYSES ET INDEX 



BIBLIOGRAPHIE 



ANALYSES ET INDEX 



i" Sciences mathématiques 



Goursat (Edouard). — Leçons sur le problème de 

 Pf afl. — I lol. gr. in-8o de viii-386 pages {Prix : 3o />.). 

 Librairie J. Hermann, Paris, 1922. 



Dans un mémoire datant de 181 4, PfafT montra 

 qu'une équation aux différentielles totales à 2ra ou 2« — i 

 variables admet toujours des multiplicités intégrales 

 dont le nombre des dimensions est au moins égal à 

 71 ou n — 1 . C'est la recherche et l'étude de ces multipli- 

 cités intégrales qui constitue le problème de PfalT pro- 

 prement dit, auquel M. Goursat a consacré les deux 

 premiers chapitres de son ouvrage. Le premier chapi- 

 tre traite de la réduction d'une forme de Pfalf u (c'est- 

 à-dire d'une forme linéaire de différentielles) à certaines 

 formes canoniques, suivant les méthodes de Frobenius 

 et Darboux, et introduit les notions importantes de 

 covariant bilinéaire et de classe d'une forme de Pfaff, 

 et de rang d'une intégrale. Ces notions sont appliquées 

 dans le second chapitre à la démonstration du théo- 

 rème de Pfaff et à l'étude des multiplicités intégrales de 

 l'équation de Pfaff wi=o; l'auteur montre également les 

 liens entre la méthode suivie et les méthodes d'intégra- 

 tion deCauchy et de Lagrangedans la théorie des équa- 

 tions aux dérivées partielles du premier ordre. 



Dans les autres chapitres, constituant la plus grosse 

 partie de l'ouvrage, l'auteur expose les résultats les plus 

 récents relatifs au problème de Pfaff et à ses générali- 

 sations, résultats dont les plus marquants sont dus à 

 l'auteur et à M. Gartan. Le chapitre III est un exposé 

 des règles de calcul des formes symboliques de diffé- 

 rentielles. Une forme symbolique de différentielles, c'est 

 le symbole ûgurant sous le signe d'intégration dans une 

 intégrale quelconque étendue à une multiplicité à p 

 dimensions de l'espace à n dimensions. Les notions de 

 produit, de diviseur, de dérivée, sont étendues à ces 

 symboles. Ces formes symboliques généralisent les for- 

 mes de Pfaff ; la considération des multiplicités sur 

 lesquelles l'intégrale d'une forme symbolique est nulle 

 conduit à une généralisation du problème de Pfall' ; les 

 notions de facteur intégrant et de classe s'étendent 

 aussi. M. Gartan a employé les formes symboliques de 

 différentielles dans l'étude du problème de Pfaff; ses 

 résultats sont donnés dans le chapitre IV : le théorème 

 de Pfaff est ol)tenu sous une forme nouvelle grâce à 

 l'introduction de la notion des dérivées successives d'une 

 forme de Pfaff. Cette méthode permet une élude plus 

 approfondie du problème de Pfaff et de problèmes 

 annexes tels que ceux de la recherche des intégrales 

 appartenant à une muliplicité donnée ou ayant un 

 nombre donné de dimensions. Les théorèmes classiques 

 relatifs aux transformations de contact se déduisent 

 aussi facilement des propriétés des formes dérivées. 

 L'emploi des formes symboliques a également permis à 

 M. Goursat d'établir d'une façon très naturelle les 

 propiiétés des invariants intégraux; les résultats fondu' 



mentaux de cette théorie sont donnés au chapitre V. 



Dans les trois derniers chapitres (VI, VU, VIII), l'au- 

 teur expose les beaux résultats obtenus par M. Gartan 

 dans l'étude des systèmes les plus généraux d'équations 

 de Pfaff. Iciencore on se propose notamment de cher- 

 cher l'ordre maximun des multiplicilés intégrales. Dans 

 cette étude s'introduisent encore certains systèmes 

 oovariants et la notion de classe d'un système (cli. VI), 

 mais aussi des notions nouvelles telles que celles de 

 genre et de caractères successifs d'un système (ch. VIII) 

 qui ont permis à M. Carlan d'obtenir des résultats défi 

 nitifs. 



Cette rapide analyse ne donne qu'une bien faible idée 

 de l'importance et du nombre des résultats déjà acquis 

 dans cette théorie donnés par M. Goursat dans son 

 ouvrage. Malgré la difficulté et l'étendue du sujet traité 

 dans ces leçons, leur lecture n'exige que la connaissance 

 des théorèmes classiques sur les systèmes d'équations 

 aux différentielles totales (il faut regretter à ce sujet 

 que M. Goursat n'ait pas uniquement pris comme 

 ouvrage deréférence son Traité d'Analyse qui se trouve 

 dans toutes les mains). 



On retrouve naturellement dans ce nouveau livre 

 les qualités d'ordre et de clarté dans l'exposition, de 

 rigueur et de concision dans les démonstrations, qui 

 ont fait le succès du Traité d'Analyse et des autres 

 ouvrages du savant analyste. Les jeunes niathémati- 

 ciens y trouveront en outre, notamment pages Ii4 

 et 38o, l'indication de nouveaux sujets de recherches. 



G. Valiron, 

 Professeur à rUniversilé de Strasbourg. 



Mac Leod (A.). — Introduction à la Géométrie 

 non euclidienne. — i ^'ol. in-S" de 433 p. avec i pi. 

 (Prix : 20 /r.). Librairie scientifique J. Hermann, 

 Paris, 1922. 



Comme toute autre science, la Géométrie est constituée 

 par un ensemble de propositions qui expriment des pro- 

 priétés de certains objets, et notre esprit aune tendance 

 très forte à attribuer aux objets répondant aux con- 

 cepts fondamentaux certaines propriétés bien détermi- 

 nées. Il existe une branche de la Géométrie dans laquelle 

 les postulats énoncent justement ces dernières proprié- 

 tés : c'est la Géométrie euclidienne ou parabolique. 



Mais par là même nous entrevoyons donc la possibi- 

 lité d'autres géométries, tout en remarquant qu'il peut 

 exister aussi dans une même géométrie des systèmes 

 de concepts fondamentaux et de postulats différents, 

 mais équivalents. 



Parmi les Géométries autres que la Géométrie eucli- 

 dienne, il y en a deux particulièrement importantes, 

 indépendantes du postulat des parallèles et de l'infinité 

 de la droite et qui lui ressemblent le jilus : l'une s'ap- 

 pelle la géométrie de Lobatchewsky ou géométrie 

 hyperbolique, l'autre la géométrie de Rieniann ou la 

 géométrie elliptique, et c'est à ces deux dernières qu'on 



