G. FRIEDEL 



LES BASES DE LA CRISTALLOGRAPHIE 



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V. — La théorie de la strixtihe 



DE SCDŒNFI.IES. 



Au point où nous en sommes arrivés, nous 

 sommes en possession d'une tiiéorie qui est la 

 suivante : le milieu cristallin homogène (cristal) 

 est périodique, avec une période finie (les mathé- 

 maticiens disent : il contient un groupe de transla- 

 tions finies, ce qui revient au même). La forme de 

 sa période est en général parfaitement déterminée 

 par l'observation. Mais, par contre, aucun des faits 

 que nous avons jusqu'ici utilisés ne nous permet de 

 rien spécifier quant à la disposition de son motif 

 (les mathématiciens disent : domaine complexe, ce 

 qui revient au même encore). La matière du molif 

 peut même être supposée continue ou discontinue. 

 Elle est complètement indéterminée. 



D'autre part, cette périodicité exprime entière- 

 ment les faits invoqués. Si on ne leur ajoute aucun 

 fait nouveau, on pourra bien discourir indéfiniment 

 sur le motif cristallin, le découper en autant de 

 fractions que l'on voudra; on aura fait une ceuvre 

 mathématique intéressante, mais on n'aura rien 

 ajouté à la théorie en tant que théorie physique. 

 C'est pourtant en cela exactement que consiste la 

 fameuse» théorie de la structure » que l'on prétend 

 aujourd'hui « opposer » à la théorie delà périodicité 

 d'Haiij , do Bravais et de Maliard. Etudiée d'abord 

 avec son véritable sens, c'est-à-dire à litre de recher- 

 clie purement mathématique, par M. C. Jordan, elle 

 est devenue, entre les mains de MM. Sohncke, 

 f'edorow et Schoenflies, une « théorie » à préten- 

 tions physiques. Ces mathématiciens, admettant 

 la périodicité et sans introduire aucun fait expéri- 

 mental nouveau, sans prétendre exprimer aucun 

 fait autre que ceux qu'implique la périodicité, 

 ont cherché de quelles manières peuvent être, 

 dans un milieu périodique, répartis les éléments 

 de symétrie (axes de symétrie, axes hélicoïdaux, 

 plans de symétrie, etc.). Us ont trouvé 230 de ces 

 modes de répartition, et divisé en conséquence le 

 motif (domaine complexe) selon 230 types difTé- 

 rents de division, en petits éléments de volume 

 dépourvus eux-mêmes de toute symétrie et dont la 

 répétition symétrique reconstitue le domaine com- 

 plexe ; ce sont les domaines fondamentaux. 



11 n'y a l;ï aucune espèce de théorie physique qui 

 ajoute quoi que ce soit à la simple notion de pério- 

 dicité. (Juelle que soit la nature du motif, quelles 

 que soient les hypothèses que l'on pourra jamais 

 faire sur elle (pour exprimer des faits), toujours ce 

 motif pourra, tant que la périodicité restera admise, 

 se découper en domaines fondamentaux selon l'un 

 des 230 modes de Schœnflies. La prétendue théorie 

 de la structure n'est donc nullement une théorie 

 physique. C'est, tout au contraire, l'étude purement 



mathématique de tout ce que l'on peut dire a 

 priori du motif, en vertu de la seule périodicité, 

 lorsqu'on s'abstient de faire à son sujet aucune 

 hypothèse, aucune tliéorie physique. C'est l'absence 

 de toute théorie de la structure autre que la pério- 

 dicité. Elle n'implique même pas la continuité ou 

 la discontinuité de la matière. Elle ne suppose rien 

 sur elle. 



Est-ce à dire que cette théorie mathématique soit 

 sans intérêt? Nullement. Elle nous fait mieux 

 comprendre quelles conditions la périodicité im- 

 pose nécessairement à la répartition de la matière 

 dans la maille. Elle n'est pas une théorie physique, 

 mais elle est le cadre dans lequel, lorsque nous 

 voudrons établir une théorie physique qui soit 

 avant tout basée sur la périodicité, nous serons 

 astreints à nous mouvoir. 



Je comparerais volontiers la théorie de Schœnflies 

 à ce que serait en Chimie une théorie mathémati- 

 que de toutes les combinaisons possibles de 

 /) atomes de carbone tétravalents avec p atomes 

 d'hydrogène monovalents, (/ atomes d'oxygène 

 divalents, etc.. '.Une telle théorie pourrait avoir son 

 intérêt, même pour le chimiste. II y trouverait 

 énumérées, à côté de beaucoup de combinaisons 

 qui ne seront jamais réalisées et que peut-être des 

 lois de la Chimie, non introduites par le mathémati- 

 cien, rendent impossibles, toutes celles du moins 

 qui seront jamais considérées comme possibles 

 tant que le carbone sera envisagé comme élément 

 tétravalenl, l'hydrogène comme élément monova- 

 lent, etc. On serait satisfait de savoir combien il y 

 en a, et surtout qu'il y a eu un homme assez sagace 

 et assez patient pour les compter. Mais qui dira 

 qu'il y ait là une théorie chimique, qui ait introduit 

 dans nos connaissances chimiques quoique ce soit 

 de nouveau, qui ait en elle-même une autre valeur, 

 comme représentation des faits, que le simple 

 énoncé de la doctrine de la valence? 



Telle estla théorie de Schœnflies. Elle a sa valeur 

 mathématique. Elle est l'œuvre d'une grande saga- 

 cité et d'une prodigieuse patience. Mais on abuse 

 vraiment de notre crédulité quand on cherche à 

 nous faire croire qu'elle ajoute quoi que ce soit à 

 la simple notion de périodicité. « Ne nous perdons 

 pas dans les abstractions mathématiques », tel est 

 le conseil excellent i|ue nous donne M.WyroubolT. 

 Je demande la permission d'ajouter : Ne prenons 

 pas pour abstractions mathématiques ce qui est 

 raisonnement légitime et nécessaire, ni pour théo- 

 ries physiques nouvelles ce qui n'est qu'abstrac- 

 tions mathématiques à propos de vieilles théories. 

 Pour construire une théorie physique de la slruc- 



' Co problème a êlé abonlé, cl Irailr ilans quelifues cas 

 parliculiers, nutaiiimenl liai- Cayley et jiar Biunel. 



