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BIBLIOGRAPHIE — ANAI.YSES ET INDEX 



BIBLIOGRAPHIE 



ANALYSES ET INDEX 



1° Sciences mathématiques 



Goni'sat (E.), Professeur à la Faculté des Sciences de 

 Paris. — Cours d'Analyse mathématique. Tome II : 

 Théorie des fonctions analytiques. Equations 

 différentielles. Equations aux dérivées partielles. 

 Eléments du Calcul des variations. — 1 vol. gr. in-H" 

 de 6i0 pages. {Prix : iO Ir.) Uauthier-Villars. Paris. 



Après avoir constitué un volume avec les théories, 

 soit de Calcul différentiel, soit de Calcul intéi;ral, qui 

 ne faisaient intervenir que le domaine réel, M. Goursat 

 a reporté à sa seconde partie tout ce qui introduit la 

 considération des variables complexes et, avant tout, 

 la théorie des fonctions analytiques. 



On se demandera sans doute si cette division, si con- 

 traire aux habitudes reçues, s'imposait, si elle constitue 

 une classilication bien naturelle des matières de 

 l'Analyse. La lecture même deTouvraiie suffira à mon- 

 trer qu'il en est liien ainsi. C'est que la notion même 

 sur laquelle on opère, celle de fonction, a une signifi- 

 cation ditférente dans les deux cas. Tant que la variable 

 reste réelle, celte notion garde une grande généralité, 

 la continuité et l'existence de dérivées jusqu'à un cer- 

 tain ordre — le plus souvent de la dérivée première 

 ou tout au plus de la dérivée seconde — étant seules 

 indispensables au raisonnement. Dans le champ des 

 variables complexes, au contraire, c'est la notion de 

 fonction analytique qui s'introduit nécessairement. 



C'est donc à la théorie des fonctions analytiques que 

 l'auteur s'adresse dès le commencement, et (tout en 

 n'ignorant pas, dans la suite, l'usage des séries entières) 

 il emploie tout d'abord, pour la traiter, les méthodes 

 de Cauchy et l'intégration dans le plan des variables 

 imaginaires. Dans sa préface, il prend la peine de s'en 

 justifier. Quelques géomètres le jugeront sans doute 

 bien scrupuleux, et trouveront qu'il fait beaucoup 

 d'honneur aux aphorismes des ultra-weierstrassiens. 

 Mais l'exclusivisme de ceux-ci a parfois été assez intran- 

 sigeant pour rendre cette apologie utile. Disons d'ail- 

 leurs qu'une heureuse réaction tend à se produire et 

 que, dans son remarquable Lehrhucli der Functionen- 

 llieorie, M. Osgood en donne l'exemple, en attribuant 

 aux intégrales de contour la place qui leur revient, 

 quitte à les combiner ensuite avec les méthodes de 

 Weierstrass. 



Un tel éclectisme n'a vraiment pas besoin de justifi- 

 cation. Personne n'a jamais songé à exclure de la 

 théorie des fonctions l'emploi de la série de Taylor. 

 Je ne vois pas pourquoi l'inverse serait plus raisonnable 

 et quel avantage il y a à constituer cette théorie en se 

 passant des intégrales de Cauchy. 



Le plus curieux est qu'il ne me pajait pas du tout 

 démontré que ce but soit atteint. Nul doute qu'il ne le 

 soit pour limpiimcur et qu'un traité de théorie des 

 fonctions d'après Weierstrass ne puisse être composé 

 sans signe f. Mais le logicien, plus difficile à contenter, 

 y trouvera une certaine décomposition de fraction 

 rationnelle en fractions simples dont les infinis sont 

 distribués sur«un cercle, qui ressemble à s'y méprendre 

 à une « valeuJ' moyenne » de Cauchy sur le cercle en 

 question. 



Cette exclusion des intégrales définies, sur l'utilité 

 — et même sur la réalité — de la(|uelle nous avons 

 tant de doutes, est-elle au moins obtenue sans rien 

 sacrifier de la ptjrtf'e cl de la généralité de la théorie'? 

 Qui ne voit immédiatement le contraire? D'un côté, on 

 admet à priori l'i-xistence du développement de Taylor, 

 c'est-à-dire d'une expression analyticiue de forme 



déterminée et toute spéciale. De l'autre, on ne suppôt, 

 à la fonction envisagée que des propriétés simples du 

 continuité et de dérivabilité : ces hypothèses, les plus 

 banales que l'on puisse faire pour l'application du 

 Calcul infinitésimal, et qui restent telles dans le do- 

 maine réel, sont grosses de conséquence dans le do- 

 maine complexe et suffisent, comme le montre la 

 théorie de Cauchy, à fonder la notion de fonction ana- 

 lytique. Bien de tout cela ne ressort de la théorie fondée 

 sur l'emploi exclusif des séries. 



Cet important avantage des méthodes de Cauchy, 

 M. Goursat se trouve être un de ceux qui ont contribué 

 à le mettre le plus en lumière, en simplifiant encore 

 les hypothèses utilisées. Au lieu qu'avant lui il avait 

 été nécessaire d'assigner une limite supérieure au 

 module de la dérivée, il a démontré que l'existence 

 de celle-ci suffit à assurer l'exactitude du théorème 

 fondamental. Cette démonstration est si simple que, 

 tout en s'étant astreint à rester élémentaire et à ne pas 

 dépasser les limites des programmes, il a pu la pré- 

 senter à ses lecteurs. 



Inutile de dire qu'un peu plus loin les propriétés des 

 séries entières et du prolongement analytique sont 

 exposées avec le soin qu'elles méritent. 



La théorie des fonctions analytiques, établie sur 

 cette double base, occupe la première moitié du volume : 

 elle comprend, en particulier, une excellente étude des 

 fonctions elliptiques oii, sans entrer dans le détail des- 

 calculs souvent fastidieux auxquels ces fonctions 

 peuvent donner lieu, l'auteur sait aborder les princi- 

 pales questions générales qu'elles soulèvent, tant dans 

 leur théorie que "dans leurs applications, ou du moins 

 leurs applications purement analytiques. 



Quant à la théorie des fonctions algébriques et des 

 intégrales abéliennes, elle est représentée par ses pro- 

 positions les plus élémentaires : méthode de Puiseux, 

 théorème d'Abel, périodes des intégi^ales abéliennes. 

 Le lecteur acquiert, d'autre part, une idée des diffi- 

 cultés qui entourent la théorie des fonctions analytiques 

 de plusieurs variables et des résultats établis : tel est, 

 entre autres, l'important théorème de Weierstrass, 

 dont l'absence constituait une lacune regrettable des 

 anciens traités. 



Bien que l'étude des équations différentielles puisse 

 se poursuivre aussi bien dans le domaine réel que 

 dans le domaine complexe, il était impossible de 

 l'aborder sans la connaissance des doctrines précé- 

 dentes. M. tioursat la traite tant au point de vue de la 

 théorie des fonctions, telle qu'il vient de la présenter, 

 qu'au point de vue des variables réelles, tel que l'in- 

 troduisent les travaux récents. 



11 ne laisse d'ailleurs pas ignorer à ce sujet les prin- 

 cipales théories anciennes ou modernes : multiplica- 

 teur (dont nous voudrions, pour notre part, voir lier la 

 notion à celle des invariants intégraux, si propre à 

 l'éclairer), transformations infinitésimales, intégrales 

 régulières des équations linéaires, points singuliers les 

 plus simples, etc. Quelques indications sont même 

 données sur la question des intégrales singulières des 

 systèmes différentiels, élucidée précédemment par 

 l'auteur grâce à des considérations géométriques très 

 simples. 



Tous ceux qui ont lu les Leçons sur l'intégralion 

 des équations aux dérivées partielles du premier 

 ordre ne s'étonneront pas de voir traitée avec une 

 grande perfection la théorie des équations aux déri- 

 vées partielles. Mais il est un point, brièvement indiqué 

 en une page, et qui mérite cependant d'attirer toute 

 leur attention : je veux parler de la méthode de Mayer, 



