G. MILHAUD 



DESCARTES ET LA LOI DES SINUS 



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est qu'elle fournit un rapport constant des sinus, et 

 inconsciemment, sans doute, il reporte, sur le postu- 

 lat d'où il la déduit, la conviction où il est déjà de 

 la réalité de la loi. Fermât ne manquera pas de 

 dire, dans sa controverse avec Clerselier, qu'il ne 

 pourrait admettre les postulats de Descaries que si 

 la loi était exacte. En fait, il ne croira lui-même à 

 la loi que quand il l'aura retrouvée, mais en se 

 fondant sur un tout autre principe (à savoir que le 

 chemin parcouru par la lumière de A à I doit être 

 un minimum ' j. 



Mais alors d'où venait à Descartes cette connais- 

 sance de la loi des sinus? — Peut-on songera 

 l'expérience? On sait bien que Descartes a été à 

 ses heures excellent observateur, et, en ce qui 

 concerne les réfractions, sa lettre à Golius ne con- 

 tient-elle pas d'excellents conseils? Mais, dans cette 

 lettre même, nous l'avons vu, Descartes déclare 

 n'avoir fait aucune des observations (\u'\[ conseille; 

 son unique expérience sur la rétraction a consisté 

 à faire tailler un verre à travers lequel les rayons 

 du soleil ont convergé dans les condilions prévues. 

 Et nous n'avons aucune raison de penser que Des- 

 cartes ne dit pas sur ce point la vérité exacte. 



Du moins, celte expérience unique dont il parle 

 peut nous faire deviner le processus qu'a suivi sa 

 pensée pour arriver à soupçonner la loi des sinus. 

 Les problèmes relatifs à la taille des verres, dont il 

 nous fait connaître les propriétés au chapitre VlU 

 de la Dioplriqiic, font tous suite à un premier pro- 

 blème, supposé résolu, sur lequel il s'ex|)lique dans 

 ce même chapitre, et qui n'est autre chose qu'un 

 problème de géométrie relatif à la théorie des 

 coniques.. L'énoncé est le suivant: 



Etant donnée une ellipse ou une hyperbole, sur 

 laquelle tombe un rayon parallèle à l'axe focal, à 

 quelle condition géométrique le rayon réfracté pas- 

 sera-t-il par l'un des foyers? Supposons, pour pré- 

 ciser, qu'il s'agisse de l'ellipse, rencontrée en B par 

 un rayon parallèle au grand axe (fig. 2). Joignons B 

 au foyer I, prenons sur la parallèle à l'axe une lon- 

 gueur BA égale à BI; puis menons la normale en B, 

 sur laquelle nous abaisserons les perpendiculaires 

 AL, IG. Descartes montre très simplement, par con- 

 sidération de triangles semblables, que les lon- 

 gueurs AL et IG doivent être entre elles comme 

 l'axe DK est à la distance des foyers III. Le rapport 

 des longueurs AL et IG représentant d'ailleurs le 

 rapport des sinus des angles ABL, IBG, la condi- 

 tion pour que le rayon AR passe, après réfraction, 

 par le foyer I est, en somme, que les angles d'inci- 

 dence et de réfraction aient leurs sinus dans le 

 rapport de DK à III. Il y a là'un problème de ma- 



' PuvM- Formai, lo im|iii(ii-I des siim-; sera Pliai au rapport 

 lies vitesse^, ol non à riiivurM.' l'inniiir pour Descarles. 



thématiques qui dut être assez facile pour Descartes, 

 et qui peut bien remontera ses premièresrecherches 

 sur les coniques'. Tout au plus se demandera-t-on 

 comment il avait eu l'idée de se le poser. Mais la 

 construction d'instruments d'optique destinés à 

 aider la vision était trop à l'ordre du jour, et, si 

 l'on songeait à un contour elliptique ou hyperbo- 

 lique, les foyers étaient trop désignés, ne fût-ce 

 que par leurs noms, pour marquer les points où 

 les rayons solaires avaient des chances de se con- 

 centrer, si c'était possible, pour que nous ne soyons 

 pas autrement surpris de voir Descartes chercher 

 de ce Coté. 



Mais la solution de ce problème tout géométrique 

 ne donnait certes pas la loi de la réfraction. Elle 

 apprenait seulement que des rayons parallèles à 

 l'axe passeront après réfraction par le foyer I, si, 

 pour certaines positions du point B sur la courbe, 



l'if;. 2. 



la loi inconnue suivant laquelle s'effectuent physi- 

 quement les réfractions permet que les sinus des 

 angles ABL, IBG, aient entre eux le rapport voulu. 

 Existera-l-il de pareilles positions du point B? Ce 

 n'est pas impossible n priori. Qui sait si — ■ suppo- 

 sée connue la loi de la réfraction — le problème 

 qui aurait pour ol)jet de trouver de tels points B 

 ne pourrait pas devenir indéterminé? et qui sait si, 

 pour une grandeur convenable donnée aux éléments 

 de la conique, tous les rayons parallèles ne vien- 

 draient pas passer par I? Ce serait là le cas le plus 

 heureux. Il se produirait si la loi de la réfraction, 

 qui doit poser, elle aussi, une relation entre les 

 angles, se confondait précisément avec la condi- 

 tion que le rapport des sinus restât le même, quel 

 que fût le point B, — pourvu seulement que le rap- 

 port du grand axe à la distance des foyers repré- 

 sentât justement la valeur constante de ce rapport. 

 Cette dernière valeur, si cela se réalisait, s'obtien- 

 drait aisément par une seule expérience, faite sur 

 un morceau de verre, et il resterait à le tailler 

 selon un contour elliptique dont l'excentricité 

 serait connue d'avance, pour que les rayons paral- 



' Cr. IvRAMEli : 0/). cit. 



