CHARLES PLAYOUST — UNE PAGE DE L'HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES 



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i|U(' le iir'plai'eiinMit Idi'l ns\\r du divistnir à chaque 

 iiiiiiveaii leniie, aliii ilc ^•aranlir la sûreté île Topé- 

 ralioii. 



Peletiei' passe à côté de la théorie des higarilhines 

 sans en soupçonner riin|inrlance. D'ailleurs, au 

 xvi'' siéele, ils étaient consitléi'és eoinmc sans utilité 

 et simples jeux d'esprit ijucmida tractatio), récréa- 

 tions iiialh(''uiati(pies sur la théorie des nombres. 



IL — Les équations a une inconnue. 



Peletier nomme extraction de racines la résolu- 

 tion des é(|uations à une inconnue : ce nom étrange 

 provient de la coutume systématique d'isoler, dans 

 le premier membre, le plus haut signe, c'est-à-dire 

 la [)lus haute puissance de l'inconnue dont on a, 

 au |)i'éalahle, ramené le coefficient à l'unité. Trouver 

 la première puissance de cette inconnue, quand on 

 en connaissait l'expression d'une puissance supé- 

 rieure, se (lisait 1res iiatui-cllement : en extraire la 

 racine. 



Coinhieii v a-l-il d'espèces d'é(|Malioiis? « Quel- 

 ques géomètres, dit (iosselin, soutieunnent à tort 

 que le nombre des équations est illimité. Mais si 

 on veut bien l'aire rèllexion que toute (piantitr' con- 

 tinue est ligne, surface ou corps, on devra convenir 

 (]u'on ne )ieut rais(uinal)leinent atlmeltre (|ue trois 

 espèces d'é<[uations ; et prévoyant les objçclious (pie 

 soulèvera jiareille assertion — (ui possédait la solu- 

 tion de ré(]uati(Mi du ([uatrième degr('' — il ajoute : 

 tiliit si/, nosira hœc est sentenlia, i/nani postea, 

 Jii vante Deo, demonstrabimas. 



Pour la résolution île l'équation du premier 

 degré, rien de saillant (luanl à la méthode. Peletier 

 fait ])ourtant remar(piei', à |U'opos de la transposi- 

 tion des termes : « T(uil cecy est fondé sur cesle 

 commune conception d'entendement, qui est que 

 si de deux égaux vous ostez portions égales, les 

 rémanents sont égaux. Vous voyez comme r,\lgèbre 

 fait son pi'oflil de choses si confessées et si vul- 

 gaires, ]iar le moyen desquelles .se résolvent des 

 ditlicultèsqui semblent être impossibles àsoudre. » 



Il est intéressant, au point de vue liistori(iue, de 

 relever, tant chez Butéon que chez Peletier et Gos- 

 selin, des exemples d'équations dont le pi-emier 

 membre est égalé à zéro. L'opinion qui a cru long- 

 temps voir dans l'exemple proposé par Slifel un 

 cas isolé, .semble ainsi controuvée. Les algébristes 

 de la seconde moitié du xvi'' siècle em))loyaient 

 cette notation, que Descaries ne lit que systématiser. 

 La résolution de Féquation du second degré, 

 ou extraction de racine censique, n'a rien de neuf. 

 On ramène l'équation à l'une des trois formes : 



x' = px -\- q, \^ =z q — px, \- = px — q. 



Les formules de résolution sont déjà classiques : 



on n'est puni-laut pas peu étonné de voii' la que- 

 relle que Gosselin cherche à Nonius. Celui-ci, à 

 propos de l'équation où le terme du second degré 

 est affecté d'un coefficient, et que nous écririons : 



ax' + hx = r 



indique les transformations suivantes : 



4a'A" -{- iabx = iac 



(2ax -!-/))« = A' -I- 4 ac 



Vh- -^ inc — Il 



Gosselin n'a pas assez (rir(uii(j pour (^^^(luer ce 

 procédé! Pourquoi cette mullipliraiion par ia? 

 Pourquoi surtout preniire poui- inconnue 2v? on 

 pourrait tout aussi bien prendre 3,v, 4.v, etc.! 



Peletier signale l'équation a- = p.v — q comme 

 admettant deux solutions; de fait, elle a deux 

 racines positives quand yj et (/sont positifs. Ignore- 

 t-il les nombres négatifs"? Il semble pourtant en 

 avoir pressenti l'utilité, car, h propos de certain 

 problème, il fait remarquer que l'on pourrait encore 

 vérilier cet exemple, « mais c'est par nombres 

 absurdes qui sont nombres feincls au-dessous de 

 rien » et il ajoute : <■ Vous voyez les nombres feincts 

 au-dessous de rien n'estre pas sans usage, car 

 par eux se fait la preuve des exemples et se montre 

 la vérification des règles. » 



A l'occasion des équations du second degré, 

 Peletier explique d'une façon élégante l'extraction 

 de la racine carrée des polynômes, .sans pourtant 

 y attacher d'autre importance que celle d'un pur 

 jeu d'esprit; car, dit-il, « l'opération, pour réussir, 

 doit s'exécuter sur un exemple cherché et faicl 

 artiticiellement ». 



La partie la plus originale de l'Algèbre de Pele- 

 tier est sa « nouvelle et compendieuse manière de 

 trouver l'estimation et valeur des équations ». 

 Cette invention compendieuse consiste à se servir 

 des propriétés des racines pour résoudre les équa- 

 tions : on y trouve quelques-unes des plus anciennes 

 propositions connues, ènon(;ant certaines propriétés 

 des racines en fonction des coefficients. Par exemple, 

 si l'équation du second degré est de l'une des 

 deux formes : 



x° = (p + i)x—p, x^^(p — l)x + p. 



x^p est nécessairement racine de l'équation. 



Si une équation du troisième degré (àcoeflicients 

 entiers) d'une des formes : 



x' = px' + q. x' = p,\- — q. x' = (7 — /)x-, 



admet une racine rationnelle entière, le carré de 

 cette racine doit être un diviseur entier du terme 

 tout connu. 



11 réclame en termes exprès la paternité de ces 

 théorèmes. Mais un des titres de gloire les plus 

 sérieux que l'on puisse revendiquer pour sa 



