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UN TRAITÉ DE GÉOMÉTRIE INÉDIT D'ÂRCHIMÈDE 



(RESTITCTIO.N d'après un manuscrit RECEMMENT DECOUVERIJ 



INTRODUCTION 



Les miuveaiix textes d'Ai-ehimède identifiés par 

 M. IIeil(erg"])ré.senlent, au point de vue historique, 

 un inléi-èl considérable. S'ils ne transforment pas 

 notre conception de l'o'uvre d'Archimède, ils la 

 eomplèleni, ils la précisent; ils montrent qu'Archi- 

 mède s'était avancé dans les voies de la science 

 moderne plus loin encore qu'on ne le supposait; ils 

 accroissent, s'il est possible, notre admiration pour 

 son merveilleux génie. 



Le savant mathématicien danois, M. Zeulhen, 

 dont Y Histoire des Mathématiques a une réputation 

 universelle, vient de publier une traduction alle- 

 mande de ces pages miraculeusement ressuscilées, 

 en les accompagnant d'un commentaire pénétrant 

 et minutieux. M. Théodore Reinachv dont l'éru- 

 dition et la curiosité ne connaissent pas de limites, 

 jioursuivait, de son côté, une traduction française 

 du même texte [grec, qu'il a réussi à faire aussi 

 précise que possible, en même temps que facile à 

 lire par l'emploi de la terminologie moderne. Dans 

 celte traduction, les lacunes des démonstrations 

 résultant des lacunes du manuscrit sont soigneu- 

 sement rétablies. Les savants ne peuvent que se 

 réjouir du double effort de M. Zeiithen et de 

 M. Reinach. qui leur ouvre tout grands les secrets 

 du nouveau manuscrit. Je voudrais indiquer ici 

 aussi brièvement que possible les conséquences qui 

 me .semldent résulter de sa lecture. 



On sait (prArchiméde est regardé à juste titre 

 comme le [lère delà méthode d'e.vAaus^i'ow, méthode 

 dont on peut dire qu'elle est le calcul intégral à 

 l'état naissant. Le principe de la méthode est le 

 suivant : pour mesurer une grandeur nouvelle 

 (une aire curviligne, par exemple), on montre 

 qu'elle est comprise entre deux grandeurs analo- 

 gues qu'on sait mesurer (deux aires rectilignes, par 

 exemple), dont la différence peut être rendue aussi 

 petite qu'on veut; la limite commune de ces deux 

 grandeurs est la mesure cherchée. C'est par cette 

 méthode qu'Archimède a calculé l'aire de la para- 

 bole, c'est-à-dire, d'une façon précise, l'aire com- 

 prise entre une parabole, son axe et deux perpen- 

 diculaires quelconques à cet axe; il obtint cette 

 aire comme la limite d'une somme de surfaces 

 rectangulaires de plus en plus nombreuses et de 

 plus en plus minces. La sommation qu'il a dû 



accomplir serait représentée aujourd'hui par le 

 symbole : 



Archimède a donc effectué — et avec une rigueur 

 parfaite — la première intégration. 



11 est vrai que le principe de la méthode d'exhaus- 

 tion se trouvait déjà, au moins partiellement, dans 

 Eudoxe, prédécesseur d'Euclide et d'Archimède, à 

 qui est due la mesure du volume de la pyramide. On 

 sait que le calcul élémentaire de ce volume repose 

 sur le lemme qui exprime l'égalité des volumes de 

 deux pyramides qui ont la même hauteur et des 

 bases équivalentes. Or, pour démontrer ce lemme, 

 Eudoxe comprend le volume d'une pyramide entre 

 les volumes de deux sommes de prismes, volumes 

 dont la différence tend vers zéro. Si Eudoxe avait 

 déduit de là directement le volume de la pyramide 

 en sommant les volumes de prismes de plus en 

 plus nombreux et de plus en plus minces inscrits 

 dans la iiyramide, c'est lui qui eût fait la première 

 intégration, et précisément la même intégi-ation : 



/' 



.\=./.\ 



dont dépend l'aire de la parabole. Mais il s'est borné 

 à employer sa méthode à la comparaison de deux 

 volumes encore inconnus, sans en tirer la valeur 

 commune de ces volumes. 



C'est donc Archimède qui, le premier dans l'his- 

 toire de la science, a effectué une intégration. Sa 

 méthode, il l'a exposée sous une forme irréprocha- 

 ble, non pas seulement à propos de l'aire de la para- 

 bole, mais dans son Traité sur les Paraboloïdes et 

 les Ellipsoïdes : c'est dans ce dernier Traité qu'il lui 

 a donné sa forme la plus générale, et il l'a appli- 

 quée à des intégrations qui seraient représentées 

 aujourd'hui par les symboles : 



f'xdx, f'x'dx. 



Dans sou Traité sur les Centres de gravité des 

 figures planes, il a même effectué l'intégration ; 



/ 



x^dx. 



mais à l'aide de procédés tout spéciaux. Le nouveau 



