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P. PAINLEVÉ — UN TRAITÉ DE GÉOMÉTRIE INÉDIT DAHCHIMÈDE 



Traité n'apporte pas d'intégrations nouvelles, mais 

 il expose des proeédés entièrement difiërenls et très 

 intnitil's pour résoudre des problèmes variés et 

 apercevoir des tliéorèines où interviennent les trois 

 intégrations précédentes. La méthode d'exhaustion 

 est au fond de ces procédés, mais ce qui en fait la 

 fécondité, ce qui peruiet (à l'aide de trois quadra- 

 tures distinctes seulement) de traiter une multitude 

 de queslicuis. c'est une notion toute moderne et qui 

 apparaît là pour la première fois dans l'œuvre 

 dWrchimède : la notion de moment d'une force par 

 rrpport à une droite ou à un jdan. 



Cette notion qu'Archimède em]iloie constamment 

 sans lui donner de niuii. c'est l'équilibre du levier 

 qui la lui a suggérée, ef c'est sous sa forme méca- 

 nique qu'il l'introduit dans tous ses raisonnements. 

 Traduite en langage moderne, sa méthode consiste 

 à comparer deux volumes qu'on regarde comme des 

 solides homogènes, et à montrer que les poids de 

 leurs éléments ont mèm* moment résultant par 

 rapport à une certaine droite. Comme un des volu- 

 mes a été choisi de façon que ce moment résultant 

 fût connu pour lui. il est connu également pour 

 l'autre : d'où une propriété géométrique de ce der- 

 nier volume. 



Parmi les théorèmes ciu'Archimède met ainsi en 

 évidence, il en est auxquels il attache tme impor- 

 tance particulière, et cela pour des raisons dont 

 un Hermite eût admiré la finesse. Les propositions 

 qu'il a publiées jusque-là sur les volumes ronds 

 n'expriment jamais que l'égalité de deux tels vo- 

 lumes. Par exemple, le volume d'une sphère est égal 

 au volume d'un cylindre ayant pour base un grand 

 cercle de la sphère et pour hauteur les 3, i du rayon ; 

 mais on ne sait pas, avec la règle et le compas, 

 construire un cube de même volume qu'une sphère 

 de rayon donné, et il est démontré aujourd'hui que 

 la chose est impossible. Or, dans sa lettre à Eratos- 

 thène, Archimède forme deux exemples de volumes 

 ronds équivalents à un cube ou à un prisme, qui 

 se construisent très aisément d'après les dimen- 

 sions du volume rond. L'intérêt qu'Archimède 

 attache à de telles propositions témoigne d'un sens 

 vraiment prophétique des problèmes de l'Algèbre 

 moderne. 



Un fait bien remarquable, c'est qu'Archimède 

 considère sa nouvelle méthode comme une méthode 

 d'invention, mais non comme une démonstration'. 

 II serait intéressant de comprendre exactement 

 pourquoi. 



Comme dans toutes les applications du procédé 

 d'exhaustion, Archimède décompose les volumes 



' Il admet seulement qu'elle peut contribuer à faciliter 

 une démonstration rigoureuse. j)arce qu'il est plus facile de 

 démontrer un théorème déjà énoncé que d'en faire à la fois 

 la découverte et la démonstration. 



étudiés en tranches de plus en plus nombreuses 

 et de plus en plus minces. Mais il ne pi-end pas la 

 peine de donner au procédé sa forme irréprochable: 

 en fait, il découpe le volume, à laide de plans 

 parallèles éqaidisianls et de plus en plus rapprochés ; 

 mais il assimile immédiatement les tranches très 

 minces ainsi obtenues à des aires planes; il parle 

 comme le ferait un partisan des indivisibles. Est-ce 

 donc qu'il est encore incapable de traduire rigou- 

 reusement son procédé d'exhaustion'? Non pas, 

 car les nouveaux textes sont sûrement postérieurs 

 à sa quadrature de la parabole, où la méthode 

 d'exhaustion est exposée d'une façon magistrale. 

 S'il emploie un langage incorrect et abrégé, c'est 

 d'abord pour rendre plus intuitif son procédé 

 d'invention et ne pas l'embarrasser de détails de 

 rigueur; c'est ensuite qu'il juge cette rigueur inu- 

 tile, parce qu'elle ne suffirait pas à rendre impec- 

 cable une méthode où des considérations méca- 

 nicjues se mêlent à la Géométrie. 



Ce souci de dégager ses démonstrations de toute 

 considération mécanique apparaît déjà dans son 

 Traité sur la quadrature de la parabole, où il ne se sa- 

 tisfait que d'une démonstration strictement mathé- 

 matique. Serait-ce purisme de géomètre"? La chose 

 est peu vraisemblable d'un esprit aussi philoso- 

 phique. Serait-ce un sacrilice aux préjugés contem- 

 porains'? I»ans ce cas, il déclarerait que sa méthode 

 est rigoureuse, mais qu'il donnera d'autres démon- 

 strations pour éviter toute controverse. L'explica- 

 tion qui me paraît la plus plausible est celle que 

 suggère M. Zeuthen : les propriétés des centres 

 de gravité sur lesquelles il s'appuie, Archimède 

 n'en connaissait encore que des démonstrations 

 imparfaites, et c'est plus tard seulement qu'il 

 a publié celles qui tigurent dans sou Traité bien 

 connu. 



Quoi qu'il en soit, un fait incontestable, c'est qu'à 

 l'époque où il écrivait à Eratosthène, .\rchimède pos- 

 sédait dans toute sa perfection la méthode d'exhaus- 

 tion. La négligence avec laquelle il l'expose ici ne 

 saurait donc être invoquée comme la preuve qu'il 

 était bien loin d'entrevoir les principes du vrai 

 calcul intégral; au contraire, elle fait ressortir la 

 sûreté avec laquelle il maniait déjà ces principes 

 comme instruments d'invention, en les associant à 

 des concepts gêométro-mécaniques modernes, et 

 sans être obligé de se garder, par tout un appareil 

 de rigueur, contre les erreurs possibles. Les pages 

 qui suivent ne peuvent que fortifier le sentiment 

 de quiconque a lu les ceuvres classiijues d'.Vrchi- 

 mède : c'est un accident historique qui a interposé 

 18 siècles entre Archimède et Galilée. 



Paul Painlevé, 



de l'AcaJérnio des Sciences. 

 Professeur à la Sorbonne et à TEcule Poljtechniqne 



