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TH. REINACH — UX TRAITÉ DE GÉOMÉTRIE INÉDIT DARCHIMÈDE 



Bihiiolhoca Mathemntica de Teubner [27 juin l'.l07i, 

 une traduction allemande du même document, 

 suivie d'un commentaire très intéressant. Quoique 

 cette pulilicatiion soit plus accessible aux mathé- 

 maticiens que l'édition grecque originale, je n"ai 

 pas cru devoir pour cela renoncer à mon entreprise. 

 D'abord parce (pie tous les savants français<pii s'in- 

 téressent à l'histoire des Mathématiques ne savent 

 pas l'allemand: ensuite parce que M. Zeuthen s'est 

 contenté de ti'adnire littéralement ce qui subsiste 

 dn texte original, tandis que je me suis eflorcé 

 d'en combler, au moins pour le sens, toutes les 

 lacunes, grandes ou petites. J'ai profité, à cet effet, 

 des puldications mêmes de MM. Ileiberg et Zeuthen, 

 et des conseils de quelques amis mathématiciens, 

 parmi lesquels je me plais à citer tout particuliè- 

 rement M. Roger Prévost, capitaine d'artillerie. 



Je laisse à de plus compétents le soin d'apprécier 

 quel accroissement la découverte de M. Heiberg 

 apporte à notre connaissance de l'histoire de la 

 Géométrie antique et du génie d'.Vrchiméde. Je leur 

 laisse aussi la tâche particulièrement délicate de 

 caractériser la valeur de cette « méthode » dont 

 Archiméde est si lier, et qu'il n'a pas cru devoir 

 garder pour lui. Il me suffira de faire remarquer, 

 après MM. Zeuthen et Painlevé, que cette méthode 

 consiste essentiellement : i"à déterminer ce que nous 

 appelons aujourd'hui le «moment» statique d'un 

 corps (par rapport à un plan fixe ou une droite fixe) 

 par la subdivision de ce corps au moyen d'un nombre 

 infini de plans parallèles ; 2° à tirer ensuite de 

 l'équation d'équilibre la connaissance du volume 

 (ou de la surface) ou la détermination du centre de 

 gravité'. Sans doute, ni le nom ni la notion même 

 du il moment» ne se rencontrent sous la plume d'Ar- 

 chimède: mais il est facile de voir que le corps 

 dont il s'agit de déterminer le volume est toujours 



' Pour mieux préciser, Archiméde coupe le volume con- 

 sidéré en tranches par des plans parallèles, et compare une 

 section quelconque à la section faite par le même plan 

 dans un autre corps déterminé, de volume connu. 11 

 cherche ensuite à déterminer sur une droite deux segments 

 contigus proportionnels à ces deux sections : alors, il con- 

 sidère cette relation comme l'équation d'équilibre, par 

 rapport à un point, des deux volumes élémentaires (corps 

 étudié et corps de comparaison) suspendus aux extrémités 

 de la droite. Si le bras de levier correspondant au volume 

 étudié est constant, cette équation d'équilibre donne le 

 volume cherché. Si, au contraire, le volume étudié est 

 connu, et que ce soit le bras de levier correspondant aux 

 éléments du corps de comparaison qui soit constant, 

 l'équation déipiilibre donne la détermination du centre de 

 gravité du cor|is étudié. 



le quotient du moment du corps auxiliaire par une 

 constante. Remarquons encore que des plans paral- 

 lèles divisent un corps en un nombre infini de 

 volumes élémentaires de hauteur infiniment petite. 

 Ces volumes élémentaires, Archiméde les assimile 

 crûment à des plans comme ailleurs il assimile des 

 surfaces élémentaires à des droitesi, et, d'une rela- 

 tion d'équilibre entre deux sections planes homo- 

 logues de figures de même hauteur, placées d'une 

 façon convenable, il conclut à l'équilibre des 

 volumes de ces figures elles-mêmes, considérées 

 comme la somme de ces sections. 



Archiméde a conscience du peu de rigueur de ce 

 procédé, et c'est pourquoi, dès qu'il a découvert 

 une relation par cette méthode, il s'attache à la 

 démontrer par une méthode d'exhaustion rigou- 

 reuse, où les volumes élémentaires sont traités 

 comme tels et le corps considéré comme la limite 

 commune d'une série de solides élémentaires ins- 

 crits et circonscrits, dont la différence peut être ré- 

 duite autant qu'on veut. Mais en réalité, comme 

 le dit M. Heiberg. « la méthode d'Archimède est 

 identi([ue avec le calcul intégral » ou, plus exacte- 

 ment, constitue une méthode d'intégration. Cette 

 proposition a été contestée, parce qu'on s'est attaché 

 à la forme du raisonnement plutôt qu'au fond; mais 

 nous croyons que, plus on approfondira la question, 

 plus on se convaincra que cette assimilation est 

 exacte et qu'Archimède a été, sans le savoir et sans 

 que ceux-ci s'en doutassent, le véritable précurseur 

 de Leibniz et de Newton. En ce qui concerne le 

 concept du « moment mécanique », le rapport est 

 encore moins douteux. En effet, la " méthode méca- 

 nique», considérations inlinitésimales à part, est 

 déjà employée dans la Quadrature de la parabole. 

 Traité connu et étudié dès la Renaissance : sur ce 

 point, entre la théorie d'Archimède et la Mécanique 

 moderne, il y a donc eu non pas rencontre fortuite, 

 mais intluence directe et liliation incontestable. 



Théodore Reinach. 



isotH. — La traduction ci-après serre le texte du plus 

 près possible ; toutefois, je me suis permis de remplacer 

 en général le raisonnement en langage ordinaire sur 

 les proportions par la notation algébrique actuelle, qui 

 parle plus vile aux yeux et à l'esprit des lecteurs mathé- 

 maticiens. Les tigures sauf 1, o, 11, 12, 16 et les der- 

 nières depuis 18^ sont celles de Heiberg, c'est-à-dire 

 d'Archimède. Les crochets [ ] signalent les parties 

 perdues que j'ai restituées par conjecture; les paren- 

 thèses ( ), les mots que j'ai ajoutés çà et là pour plus de 

 clarté. 



