TH. REINACH — UN TRAITÉ DE GÉOMÉTRIE INÉDIT D'ARGHIMÈDE 



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DES THEOREMES MECANIQUES oc DE LA METHODE 



TRAITÉ D'ARGHIMÈDE, DÉDIÉ A ÉRATOSTHÈNE 



(Préajibule). 



Arcliimède à Eralosllièiip '. salut. 



Je t'ai envoyé précédemment les énoncés de 

 quelques-uns des théorèmes que j'avais découverts, 

 cl doul je t'invitais" à trouver les démonstrations, 

 que Je ne te donnais pas pour le moment. Voici 

 quels étaient ces énoncés ' : 



1° Si, dans un prisme ilmit à hases carrées '\ ou 

 inscrit un cylindre — ayant les hases inscrites 

 dans celles du prisme et la surface latérale' tangente 

 à ses faces latérales — et qu'on mène un plan par 

 le centre d'une des hases et un côté du carré opposé, 

 ce plan détachera du cylindre un ser/nient, limité 

 par le plan sécant, le plan de hase et une portion de 

 la surface cylindrique, dont le volume sera le 

 sixième de celui du prisme entier ; 



2" Si l'on inscrit dans un cuhe un premier cylindre, 

 ayant les hases inscrites dans deux faces opposées 

 du cube et la surface latérale tangente aux quatre 

 autres faces; puis un second cylindre, ayant les 

 hases inscrites dans deux autre'< faces opposées et la 

 surface latérale tangente aux quatre i-estantes; le 

 volume formé par f intersection des deux surfaces 

 cylindriques et commun aux deux cylindres vaudra 

 les deux tiers du cuhe entier. 



On voit que ces théorèmes sont d'une toute autre 

 espèce que ceux que je t'avais précédemment com- 

 muni(jués°. Dans ceux-là, en eU'et, je comparais, au 



' Eratostliène île Cji'ène (environ ■27.J-19.') av. J.-C), rëlébre 

 polygi'.iplie — grammairien, géograplie. chronologiste, 

 inathématii-ieii. philosoplie, poète diilaclique — prit le pre- 

 mier le tiU-e de » pliilologiie » et fut siinommé « Béta » 

 (deuxième lelU'e de l'alplialjet grec), parce qu'il était le 

 second dans tontes les branches si)éciales de la connais- 

 sance. Il fut longtemps adminislr.iteur de la Bibliothèque 

 d'.ilexandric. 



' çàuEvo; sjpî'j/ietv, expression singulière. J'adopte l'inter- 

 prétation de Zeuthen. 



' Les énoncés de ces deux théorèmes sont cités en abrégé 

 jiar Héron, Mclrii/uns (éd. Schône), p. 130. 



' Le texte dit « à bases rectangulaires » (TTapa'/).ïi),ÔYçaiiiio; 

 a presque constamment le sens de rectangle chez Archi- 

 mède): mais la suite prouve qu'il s'agit bien de carrés. Au 

 lieu de prismo, nous dirions parallélipipède (j)lus correcte- 

 ment ; paraUélépip'tidc), mais ce terme, déjà employé par 

 Euclide, n'est pas usité par Archiméde. 



' Archiméde dit : « les côtés » (:t/eu;aii. 



" C'est-à-dire les théorèmes sur les volumes des conoïdes 

 (paraboloïdes) et sphéroïdes (ellipsoïdes). Archiméde aVait 

 également communiqué ces théorèmes jou du moins ceux 

 sur les paraboloïdes) à l'astronome alexandrin Conon; 

 après la mort de celui-ci, il en envoya les démonstrations 

 à Dosithéos, élève de Conon, dans le Traité (conservé) 

 Ilïpi x(ovo£i5iti)v xat ff?atpo£to£(ov. 



point de vue du volume, des figures d'ellipso'ides ou 

 de parabolo'ïdes ' de révolution et des segments de 

 figures de ce genre à des cônes et à des cylindres; 

 mais jamais je ne trouvai qu'une figure pareille fût 

 équivalente à un solide délimité par des plans \ Au 

 contraire, dans le cas actuel, j'ai trouvé que chacun 

 des deux volumes considérés — compris entre deux 

 plans et des surfaces cylindriques — est équivalent 

 à un solide compris entre des plans. 



J'ai rédigé dans le présent livre et je t'envoie les 

 démonstrations de ces deux théorèmes. Mais te 

 voyant, comme j'ai coutume de le dire, savant 

 zélé, philosophe distingué et grand admirateur des 

 [recherches mathématiques 'I, j'ai cru devoir y 

 consigner également et te communiquer les parti- 

 cularités d'une certaine méthode dont, une l'ois 

 maître, tu pourras prendre thème |iour découvrir, 

 par le moyeu <lo la Mècaniiiue. cerlaiues vérités 

 mathématiques*. Je me persuade, d'ailleurs, ([ue 

 cette mètiiodé n'est pas moins utile pour la démons- 

 tration même des théorèmes. Souvent, en clVet, j'ai 

 découvert par la Mécanique des ])ro|)Ositions que 

 j'ai ensuit;' démontrées i)ar la Géométrie — la 

 méthode en question ne constituant ])as une dé- 

 monstration véritable. Car il est plus facile, une 

 fois que par cette méthode ou a acquis une cer- 

 taine connaissance des questions, d'en imaginer 

 ensuite la démonstration, que si l'on recherchait 

 celle-ci sans aucune notion ])réalal)le. Parla même 

 raison, les théorèmes dont Eudoxe ' a le premier 



' Je substitue, pour plus de clarté, le mot ellipsoïde (de 

 révolutioni à celui de « sphéroïde •< emploj'é par Archiméde, 

 et de même paraboloïtle (de révolution) à « conoïde ». 11 

 faut dire toutefois que les termes d'.\rchimède sont plus 

 expressifs ([ue les nôtres : le corps formé par la rotation d'une 

 ellipse ressemble à une sphère, et de là le nom sphéroïde; 

 de même le corps engendré par la rotation d'une parabole 

 ressemble à un cône. 



- Ce que nous appelons un polyèdre (terme inconnu des 

 anciens). 



' Ici un mot illisible. M. Heiberg m'écrit que les restes 

 des caractères ne permettent pas de suppléer le mot (j.aOïiiii'îiv 

 (les mathématiques): On remarquera le ton légèrement pro- 

 tecteur dont Ai-chimède (né en 287) s'adresse à Eratostliène, 

 son cadet d'une douzaine d'années. 



' Voilà bien la définition de la méthode exposée ou 

 plutôt exempUliée dans le présent traité. La considéiation 

 des inlluinient petits et leur sommation ne sont qu'un des 

 procédés de cette méthode. 



' Eudoxe de Cnide, célèbre astronome et géomètre (408- 

 355 av. J.-C), élève d'Archytas et de Platon. Nous savions 

 déjà par Ai'chiméde (I, 4; 11, 296, Heiberg) qu'Eudoxe avait 

 le premier scientifiquement établi les tiiéorèmes en ques- 

 tion, en se fondant sur le postulat (aussi employé par 

 Euclide et Archiméde, Sphère et cylindre, inil.) que toute 



