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TH. REINACH — UN TRAITE DE GÉOMÉTRIE INÉDIT DARCHIMÈDE 



<lécouverl la iléinonslralion, — à savoir que le cou:' 

 est le tiers du i-yliiidre, la pyramide le tiers du 

 prisnu' (jui nul même base et même hauteur, — il 

 faut eu ra|i|i(uter une bonne part de mérite à Déino- 

 erite', (lui le pi-emier a énoncé, sans démonstra- 

 tion, les propositions relatives à ces figures. 



En ce qui concerne aussi ces théoi'èines'. que je 

 publie aujourd'hui, j'en ai fait la découverte d'aboi-d 

 [par la nu'tliode mécanique. Aussi crois-je devoir 

 nécessaireuieut l'exposer celte méthode, et cela pour 

 deux raisons : tl'abord, ]iuisque j'v ai fait allu- 

 sion ailleurs', je ne voudrais pas èli'e accusé par 

 quelques-uns d'avoir parlé eu l'air; ensuite, je suis 

 convaincu f[ue cette publication ne servira pas 

 médiocrement noire science. Car, assurément, des 

 savants actuels ou futurs, par le moyen de cette 

 méthode que je vais exposer, seront mis à même 

 de découvrir d'autres théorèmes que je n'ai pas 

 encore rencontrés sur mon chemin. 



Je t'exposerai donc, en premier lieu, la |iremiére 

 proposition qu ■ j'ai découverte par la Mécanique : 

 « Tout segment de parabole' vaut une fois et un 

 liers le triangle ayant même base et même hau- 

 teur )', ensuite toutes les autres propositions décou- 

 vertes par la même méthode. A la fin du livre j'ins- 

 ■crirai les [démonstrations] géométriques... '. 



(Lemmes°). 



I. Si l'on [retranche une grandeur a d'une autre 

 grandeur A n'ayant pas le même centre de gravité, 



grandeiii' ilonnt-e peut ("tre multipliée un nonibio suffisant 

 lie fois pour délaisser une autre grandeur donnée. 



' Démocrite d'.Vbdère (4C;0-370?). le célèbre philosophe, 

 qui se vantait de son habileté dans les constructions géo- 

 métriques. .Nous savions par un texte de Plutarque [Con- 

 trv les stoïciens, 39) que Démocrite s'était occupé des sec- 

 tions d'un cône parallèles à sa base, mais nous ignorions 

 absolument — et Archimède, dans son Traité Sphère et 

 cylindre, probablement antérieur à notre livre, parait avoir 

 ignoré lui-ménie — cpi'il eiit énoncé les deux théorèmes 

 •d'Eudoxe. 



' Le texte dit : » ce théorème », peut-être, comme me le 

 fait observer M. R. Prévost, parce cjue le second théorème 

 n'est, au funil, qu'un corollaire du premier. 



' Notamment dans le traité Quadrature Je lu parabole, 

 dédié à Dosithée. où il est dit (II, 294, Heiberg) : «Je t'envoie 

 un théorème inédit de Géométrie, que j'ai découvert d'abord 

 par la Mécanique, ensuite démontré géométi'iquement. .1 La 

 ■démonstration qui suit est mi-partie mécanii[ue (n»s 6-16} 

 mi-partie géométri(iue. 



* Archimède dit toujours, au lieu de « parabole » (terme 

 introduit un peu plus tard par .\pollonius de Perge), « une 

 section de cône rectangulaire ». c'est-à-dire la section pro- 

 duite, par un plan perpendiculaire à une génératrice, dans 

 un cône dont l'angle au sommet vaut un droit. 



' La phrase étant incomplète, on ne sait pas siArchlmède 

 s'engageait adonner à la fin du livre les démonstrations géo- 

 métriques de toutes les propositions (telle est l'interpréta- 

 tion de Zeuthen ou seulement des deux principales. Il 

 semble probable qu'il faut y ajouter en fout cas celle du 

 théorème [" (voir la (in de ce Ihéorèmei. 



" Les propositions qui suivent, données sans autre expli- 

 cation, sont pres(iue toutes des théorèmes de Mécauiqui' 



II' (l'iilic di' gravité de la grandeur restante h sera 

 situé sur la ilroite qui joint les deux autres centres, 

 prolongée dans le sens du centre de A ; et Ion 

 obtiendra la distance du centre de //au centre de Aj 

 en prenant une longueur qui soit par rapport à la 

 distance des centres de A et de s, comme le poids 

 de a est au poids ds L'. 



II. Si les centres de gravité d 1111 nombre quel- 

 conque de grandeurs sont situé-^ sur une mérne 

 droite, le centre de gravité du système total sera 

 également situé sur cette droite'. 



III. Toute droite a pour centre de gravité le point 

 qui la divise en deux parties égales^. 



IV. Tout triangle a pour centre de gravité le 

 point de rencontre de ses médianes'. 



V. Tout parallélogramme a pour centre de gra- 

 vité le point de rencontre de ses diagonales °. 



\'l. Le cercle a pour centre de gravité son centre 

 de ligure. 



Vil. Tout cylindre a pour centre de gravité le 

 point milieu de son axe. 



VIII. Tout cône a pour centre de gravité [un 

 point situé sur la droite menée du sommet au 

 centre de la base et qui la divise en deux segments 

 dont celui qui part du sommet est] triple 'de l'autre]'. 



élémentaire; plusieurs sont démontrées dans le Traité d'.\rchi- 

 mède qui nous est parvenu sous le titre « Equilibres des 

 plans ou centres de gravité des plans, livre I » ('F.Tt:r,iB'o'i 

 Ï7oppo7tiai fi xE'Tpa {Jap'ôv stiizéSwv. i'\. dans l'édition de 

 Heiberg, II, 142 suiv. Nous le citerons ainsi : ■■ Centres de gra- 

 vité, I ». Cet ouvrage (mais non le livre II du même Traité) 

 est sijrement antérieur au présent Traité. H est possible qu'il 

 faille l'iilentifier avec l'ouvrage cité ailleurs 'Quadr. parab. 6) 

 sous le titi-e de Mr,/aM-/à ou sous celui dé ï.xoiyzÎ7L t'J.v 

 [jT,.itivi/.'riv (ainsi cité dans le texte nouvellement découvert 

 des Corps Hottants). 



' Ce théorème [Centres do qravité.l. S = II. 161 Heib.)est 

 une conséquence nécessaire (Tu principe fondamental ibid.. 

 I, 6-'ii que. lorsque 

 deux grandeurs se p^- 

 composent en une 

 grandeur totale, les 

 trois centres de gra- 

 vité sont sur une 

 même droite, que le 

 centre de la gran- 

 deur composée divise 

 en segments inverse- 

 ment proportionnels aux poids des composantes. Dès lors 

 (fig. 1,1, si de la grandeur AB icentre T on retranche la gran- 

 deur AA (centre E), le centre Z de la grandeur restante AB 

 est placé de telle sorte qu'on ait : 



Zr _ poids AA 

 TE ~ poids AB' 



' Cf. Centres de gravite, I.j et corollaires II. 149 et suiv. 

 Heiberg). 



' Centres de gravité, I. 4 (11, 146 . 



* Mot à mot : « le point où se rencontrent les droites 

 menées des sommets du triangle au milieu des côtés oppo- 

 sés. » Centres de gravité. I, 14 (II. 183:. La démonstration 

 I. 13) repose sur la décomposition du triangle en une somme 

 de rectangles. 



' Centres de gravité. I. 10 II. 161 . 



' Nous ne possédons pas de démonstration |iar Archimède 

 (le cette proiiosition. Il est probable ([uelle s'établissait : 



Fig. 1. 



