TH. REINACH — UN TRAITE DE GÉOMÉTRIE INÉDIT D'ARCHIMÈDE 



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[Les ])ropo.silionsl ci-dessus [ont été précédemment] 

 démiiulrées; [on y joindra la suivante dont la dé- 

 monstration est facile] : 



IX. [Etant données deux séries de grandeurs 

 AA A..A..... BB,B,B,... en même nombreet telles ([ue 

 le rapporl de di'ux gi-andeurs de même rang soit 



A A, A, 1 • -, 



constant -15 =-ô^ = jV' • ■ ' si loni ou partie des 



grandeurs A sont dans des rapports quelconques 

 avec des grandeurs CC^C^... et si les grandeurs B de 

 rang corresjjondant sont respectivement dans les 

 mêmes i-apports avec d'autres grandeurs DD,D.^.., 

 la somme des grandeurs A sera à la somme des 

 grandeurs C considérées, comme la somme des 

 grandeurs B à celle des grandeurs D corresjion- 

 dantes' : 



Lie - idJ • 



Elant doniir 

 si pur II-' milieu 



(TuÉORÈ.\IE V)'. 



un segment de ]iariiLoIe XbV (fig. 2), 

 A (le la corde on mène' le dia- 



10 in ili'lcrrniniinl le cenli-e Je gravilé (lune iiyr.'imide 

 li-i.inguhiire ; i" en p.issant tie là à une pyramide pulygo- 

 nale; .3" en considérant le cône comme la limite vers laciuelle 

 lend une pyramide inscrite ipiand on augmente indélini- 

 ineiit le nombre dos cotés. 



' Ce lemme est la proposition initiale du Traité dit 

 Des conoïdes et sphéroïiJes (I, 290, Ileib.). 



CD C A ^ , . C, .V, 



Puisque- = -, ou f- =- = m, et de niv^nie =- = =-= ;b, 



, . , , IC SA ,, SA SB 



etc., on :i evidemmenl : ;q7 = ^. o ou w^ = ^77- 



Notre lemme iieut être ap]diqué iet l'était sans doute 

 dans le texte intégr'al des derniers théorèmes) pour passer 

 de la constatation de l'é(iuilibre des sections .\.V|Aj... CC,C,.., 

 déterminées p.ir des plans équidistants dans un volume V 

 et dans un volume auxiliaire W, à l'équilibre de ces volumes 

 eux-mêmes. Considérons, en etl'el. les sections A comme 

 les bases de ]iriâmes élémentaires BIÎ,B.j... dont la somme 

 enveloppe le volume V; et de même les sections C comme 

 les bases de prismes élémentaires 00,0,... dont la somme 

 enveloppe le volume W. fci ni est l'équidistance (c'est-à- 

 dire la hauteur des prismes), on a évidemment : 



etc. ; donc 



11)' 



Besie à passer des corps envelopp:mts SB, ID; aux 

 volumes V, W eux-mêmes : c'est ce que fait Archimêde en 

 s'appuyant sur le postulat d'Eudoxe cité plus haut, p. !)lo, 

 note 3. [Le contenu de la note qu'on vient de lire in'a été 

 suggéré par M. B. Prévost.] 



- L'énoncé de ce théorème est cité par Héron, Métriques 

 (éd. Scbœne), p. MO.!"! et 84,11. Sa démonstration coin[iléte 

 l'ait l'objet du Traité (antérieur au nôtre) intitulé Quadrature 

 de la parabole (H, 294 suiv.). Archimêde y dislingue (prop. 14 

 et IS) suivant que le diamètre est perpendiculaire ou non à 

 la base du segment, m.ais la solution est la même dans les 

 deux cas. 



• ^ M. à m. : « soit un segment ABr compris entre une 

 droite Ar et (une partie d') une section de cône orthogonal 



ABr... " 



' Archimêde dit : une droite parallèle au diamètre », 

 entendant par diamètre l'axe de la parabole. Ailleurs, il 

 appelle diamètre d'un segment curviligne la droite qui divise 



mètre AE qui coupe l'arc en B et qu'on Joigne li\, 

 BP, la surface du segment ABE vaut les '»/3 du 

 triangle ABE. 



Menons AZ parallèle au diamètre, et la tangente 

 EZ à la courbe. Prolongeons TB jusqu'à sa ren- 

 contre K avec .\Z. el. au delà, d'une longueur 



Fig. 2. 



K0 = KE. Imaginons que ]>) soil un levier' ayant 

 pour point fixe son milieu K. Soit enfin MZ une 

 parallèle quelconque à AE. 



Puis(|ue EZ esl une langente à la parabole et EA 

 une corde conjuguée- idu diamètre BA), on a 

 EB = BA, car ceci est démontré dans les Eléments^ 

 On a, dès lors, — à cause des [larallèles ZA, MS, 

 EA : — M\ = .NH, Zlv=KA. 



l)'aulre pari, mi a : 



(1) 



FA 



Az' 



zo ' 



car ceci a été démonirr dans un lemme'. 



en deux parties égales toutes les cordes parallèles à la base 

 lin segment iCnnoïdef, 3; 1. 302, Heib.). .l'ai cru plus clair 

 il .idopter ici cette terminologie, conforme à l'usage moderne. 

 On sait, d'.iilleurs, que tous les diamètres de la parabole sont 

 parallèles à l'axe (RouciiÉ et Comberousse : Géométrie elémea-- 

 taire, n" lOoi). 



' Archimêde dit : un fléau (de balance). 



' Le grec dit xai TeTayiiéw; isous-enlendu y.aTnY|j.fv/i). l^e 

 sens de ce terme est bien marque par des passages comme 

 11. 230, Heib. 



' C'est-à-dire dans les ouvrages élémentaires sur les 

 sections coniques comme celui d'Aristée l'Ancien, cité par 

 Pappus (CvNTOK : Voricsungen ûber descliiehte der Mallie- 

 matili, l, 232) et revu par Euclide. Cet ouvrage est perdu, 

 mais notre théorème (énoncé Quadr. parab. 2) est démontré 

 par Apollonius : Cooiques. I, 35 (p. 105, Heib.). 



* (» partage ME comme H partage AF. Cette proposition 

 s'établit facilement en s'appuyant sur la, propriété de la 

 parabole rapportée à une tangente et au diamètre con- 



V- 

 jugué : '-; = constante. Prenons T pour origine et pour 



,axes des coordonnés la tangente TE et la parallèle au dia- 

 mètre menée par T. 



Ona j^,= 



OM 



AZ 



OM 



ou (l)7vCï=,-^; o--: (2) 



rz= 



FM^ '' 



AZ 



hm' 



rz. 



ni'' 



