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TH. REINACH — UN TRAITÉ DE GÉOMÉTRIE INÉDIT D'ARCIIIMÈDE 



TA 



Coiniae -7-= 



riv 



KN' 



on peut donc écrire aussi : 





M5 



'zo* 



et, i)ui.squ'(iii ;i pris K(-) = TK : 



(2) 



KO 



K.N ' 



M2 

 30 ■ 



(') 



Transportons HO en TII, avec (-) pour milieu 

 c'est-à-dire pour centre de gravité ^Lemme III]. De 

 même N sera le centre de gravité de la droite MH 

 restée en place. Comme K est le point fixe du 

 levier, on voit que, à cause de Fégalité (2), les 

 droites TH (= EO) et MH se feront équilibre par 

 rapport à ce point fixe, puisque les distances de 

 leurs centres à ce point sont inversement propor- 

 tionnelles à leurs longueurs (c'est-à-dire à leurs 

 poids). K .sera donc le centre de gravité de leurs 

 poids composés. 



Il en sera de même pour toutes les parallèles 

 menées au diamètre à l'intérieur du triangle ZAT : 

 la parallèle, restant en place, fera équilibre à sa 

 portion comprise dans le segment, supposée trans- 

 portée en 0, et le centre de gravité du couple sera 

 toujours le point K. 



La somme des parallèles en question, c'est l'aire 

 du triangle. TAZ; la somme de leurs portions sem- 

 blables à Oï, interceptées par le segment, c'est le 





m 



divisons memlji-e ;i membre (1) et (21 : il vient (3) 



r V 



= -^, c'est-à-dire : jmi'tage ME comme H partageAr. 



En particulier, A étant milieu de la corde Ar, le sommet B 

 du diamètre conjugué sera le milieu de AE (démonstration 

 de la proposition EB = BA, plus simple que celle d'Apol- 

 Joiiiusj. [Démonstration cominnniciuée par R. Prévost.] 



Arcliimède, dans la Quadrature Je la parabole i§ 4 et .'i). 



, . /AT .\1E\ , , 



■hilion ( -r^ = -7^1 par un calcul un peu plus 



obtient cette rcl: 



Ion?. 11 écrit le rapport du carré des ordonnées aux abscisses 

 en les rapportant .'i la tangente en B et au diamètre con- 

 jugué. Soit Oiip la pai-allèle à la base du segment : 



BA AA- AP , , BA HP . AF 



-, — = : = ■=— :; en remplaçant -=;— par -— 



B;; 0;i- EA^' '■ ■ Bt: '^ Bp 



Br , Br BP Br bn bp -i- bn fn 



=— ^ , il vient : tt- = tttt^ , ou : tttt = 



et ^ par 



liN' 



Bi 



BN' 



BN 



Br 



Bp 



-r= et 



BN -t- Bp Np 

 IN N 



il 



vient 



P^"" NU' 

 c'est-à-dire 



Remplaçons de nouveau j-^ par -r^ ^v 



AF _ NE 2Ar _ 2 NE 



ËÂ ^ NU "" ■ AF - EA "~ NE - NU ' 

 AT ME 

 AS ~ (JE ■ 



' Jusqu'ici la marche de la démonstration concorde à 

 peu prés avec celle de la première démonstration (méca- 

 nique; donnée d.-ms le Traité de la Quadrature de la parabole. 

 .V partir de ce point, elles divergent. Dans ce dernier Ttraité 

 (§ 6-17;. .\rcluméde décompose le segment, p;u- des jiaral- 

 lèles équidistantes et un faisceau de droites tirées de F. en 

 deux séries de trapèzes, lune enveloppée, l'autre enveloj)- 

 pante. et il montre (en s'appuyant sur des lemmes méca- 

 niques) : 1» que le triangle ZAF est plus grand que trois fois 

 une de ces séries et plus pelil que trois fois l'autre; 2" que 

 la différence entre ces deux séries peut être plus petite i|ue 

 toute valeur donnée. 



segment paraboliiiue BAF. Donc au total le triangle 

 ZAr, restant en place, fera équilibre au segment 

 entier transporté en t), et le centre de gravité «le 

 leur système sera K. 



Prenons sur TK le point X tel que rK = :j KX : 

 Ce point (étant au tiers de la médiane TK et par 

 conséquent au point de rencontre des 3 médianes) 

 sera le centre de gravité du triangle TAZ, comme 

 cela a été démontré dans les Er/uilihres'. Comme 

 le triangle l'ait équilibre par rapport à K au seg- 

 ment, transporté au centre (les distances de 

 leurs centres de gravité au point fixe sont inverse- 

 ment proportionnelles à leurs aires) : 



Ir. AZF _0R 



segm. ABF ~ KX 



= 3. 



D'autre part, le triangle TXZ est quadruple du 

 triangle ABI" à cause de ZK = KA. AA = AF: donc 



finalement : 



segm. ABF _ 4 (=) 

 tr. ABF ""3" 



Ce qui précède ne constitue pas une démonstra- 

 tion (complète) 'mais suffit à donner à la conclusion 

 une apparence de vérité. Voilà pourquoi, voyant 

 d'une part que le théorème n'était pas icomplète- 

 inent) démontré, supposant d'autre part la conclu- 

 sion exacte, j'ai trouvé une démonstration géomé- 

 trique que j'ai publiée précédemment ' et que 

 j'ajouterai jilus bas en appendice' (?) 



(TnÉORÈME II). 

 1° Toute sphère est quadruple du cône qui a une 



' Centres de gravité, I. 14 et 13 p. 1S6. 3 ; supra 

 lenime I\'. 



- Suivent les mots incompréliensibles : « Ceci sera 

 clair... >> 



' Ce iiui chiffonne le rigorisme d'.\rchimède. à mon avis, 

 c'est : 1° l'intrusion de la .Mécanique dans une question 

 purement géométrique; 2° le procédé abréviatif qui consiste 

 à considérer une aire curviligne comme une somme de 

 droites « pesantes " et à conclure de l'équilibre, deux à 

 deux, des portions de parallèles interceptées dans le 

 segment et le triangle Z.VF, à l'équilibre des aires du 

 triangle et du segment. On voit que. sur ce point, je ne suis 

 pas entièrement d'accord avec M. Painlevé. 



' Archimède parait n'avoir en vue ici ^et ceci confirme 

 l'opinion exprimée dans la note précédentei que la démons- 

 tration purement géométrique qui forme la deuxième partie 

 de la Quadrature § liS-2'tV Elle repose sur le thèiu'ème que 

 le diamètre mené du milieu de la hase au sommet du seg- 

 ment vaut les 4/3 de la parallèle au diamètre menée du 

 i|uart de l.i hase à l'arc. On démontre alors facilement qpie 

 1« segment peut se décomposer en une série de Ir-iangles de 

 plus en plus petits, ayant tous leurs sommets sur l'arc, et 

 dont la somme a pour expression (1 étant le triangle initial, 

 qui a même base et même sommet que le segment) : 



--l-O'-G)'-- 



série dont la somme est -. 



' TàÇojiev, leçon douteuse de Heiberg. Rien ne pinuve que 

 la démonstration en question figurât réellement à la 

 queue de notre traité. 



