TH. REINACH — UN TRAITE DE GÉ(3MÊrRIE INÉDIT D'ARCHIMÈDE 



919 



Donc aussi : 

 M2 X -n ■■ 



Aï = TA X AS. 



:Az-L==r + Ai:-j = zi- + iir 



D'aulre part, on a (toujours par identité) 



TAMS 



' Arcliimède dit : " Le plus gi-aiid oorL-le du la splu-R 



base étjnle à un (jrand cercle' et une hauleuv 

 égale nu rayon de la sphcre; 



2" Le cylindre ayant une base égale à un grand 

 cercle et une hauteur égale à un diamètre de la 

 sphère équivaut aux 3,2 du volume de celle-ci. 



Soit ABFA (Tig. 3) un grand cercle de la sphère, 

 Ar, BA deux diamètres perpendiculaires; par BA on 

 mène un grand cercle de plan perpendiculaire à 

 ABEA et on prend ce cercle pour hase d'un cône 

 ayant son sommet en A. 



Prolongeons maintenant la nappe du cône 

 jusqu'à sa rencontre avec le plan mené par E paral- 

 lèlement à sa hase : l'intersection sera un cercle de 

 diamètre EZ, perpendiculaire à Al". Sur ce cercle, 

 avec l'axe .^E, construisons le cylindre EAIIZ. Enfin 



e 



prolongeons AE d'une longueur A© = AE et consi- 

 dérons E0 comme un levier ayant pour milieu 

 lixe A. 



Menons une parallèle quelconque MX à BA, qui 

 coupe le cercle ABEA en H, 0, le diamètre AE en i, 

 les droites AE, AZ en n, P. Si, par cette droite MN, 

 on mène un plan perpendiculaire à AE, il coupera 

 le grand cylindre suivant le cercle MN, la sphère 

 suivant le cercle ZO, le grand cône AEZ suivant li- 

 cercle IIP. On a (par identité) : 



TAx A2 = Msx i:n, 



puisque EA = Mil et AS = i;il. Mais (dans le 

 triangle rectangle AZE) on a : 



Remplaçant EA par son égal A0et umltqjliant les 

 deux termes du second memhre par Ml, on a : 



A0 



A2 ' 



m: 



ou, en substituant 

 ci-dessus : 



A© 



AZ ' 



.\1S X -Il ' 

 râleur de MS X -^I li-uuvée 



zz- + 111- 



£11 -I- W 



(Les aires des cercles étant proportionnelles aux 

 carrés de leurs rayons ou diamètres, cette ègalilè 

 peut s'écrire :) 



cercle MX _ AB 



cercle UE -|- cercle HP ~ AS ' 



Donc, si l'on suspend au centre de gravité (,-) les 

 deux cercles OE, IIP déterminés par le plan paral- 

 lèle dans la sphère et le cône, ils feront équilibre, 

 par rapport au point fixe A, au cercle MN déter- 

 miné dans le grand cylindre et resté en place 

 (puisque les aires pesantes sont inversement pro- 

 portionnelles aux distances des centres de gravité 

 au point lixe). 



On démontrerait de même que, pour toute autre 

 parallèle à EZ menée à l'intérieur du rectangle AZ, 

 et par hniuelle on mène un plan perpendiculaire 

 à AE, le cercle déterminé dans le cylindre équi- 

 libre, par rapport au point A, les cercles déterminés 

 dans le cône AEZ et dans la sphère, supposés 

 transportés au centre de gravité commun W. 



La somme des cercles déterminés représente les 

 volumes respectifs du cylindre, du cône AEZ et de 

 la sphère qu'ils remplissent entièrement. Donc le 

 cylindre, resté en place, équilibre, par rappiut à A, 

 les deux autres solides transportés au centre de 

 gravité commun 0. Le cylindre a pour centre de 

 gravité K i milieu de Eaxe et centre de la sphère); 

 la relation d'équilibre donne : 



cylindre AT. 



s[)hère 



A0 

 AR 



cùne AEZ -|- 



En d'aulres termes : 



cylinilre AZ = 2 (cùne AEZ -|- sptière . 



Mais le cylindre AZ vaut trois fols le cône AEZ, 

 donc : 



3 cùnes AEZ = 2 cùnes AEZ -f 2 sphères. 



OU : 



cône AEZ = 2 splières K. 



Comme le cône AEZ a rayon et hauteur d(iid)les 

 de ceux du cône ABA, Il vaut 8 fois ce dernier cône ; 

 on peut donc écrire : 



8 cônes .\BA = 2 splières IC. 



c'est-à-dire : 



sphère K == 4 concs .VBA. 



