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TH. REINACH — UN TRAITÉ DE GÉOMÉTRIE INÉDIT DARCHIMÈDE 



.Mcniiiis mainli'iiaiil il.uis \e i'eclaii;ii,ie AZ les 

 parallèles <I>B\, M'All a AT et considérons les 

 ( ylindirs <l)»ri>\, <1>U"AH. Le cylindre «Mî vaut 

 :i lois le cylindre »I>A, et ce dernier cylindre vaut 

 3 lois le cône ABA, comme on Ta vu dans les Elé- 

 meiils'. Donc : 



cylinilre >l'Q = G cimes ABA. 



Rapiirochant celle égaillé de la précédenle, il 

 vient ; 



cvlintlre <1>Q 6 cônes ABA 



siiliL-re K l Cônes ABA 



C.M.r.d. 



npiiiHrque. [De ce théorème, par lequel on a 

 élalili que toute sphère vaut 4 fois le cône qui a 

 pour base un grand cercle et pour hauteur un rayon 

 de la sphère, fm'est venue] l'idée que la surface 

 d'une sphère vaut quatre grands cercles. C'est en 

 eflfel une hypothèse vraisemblable que. de même 

 (pie tout cercle équivaut à un triangle ayant pouj- 

 base la circonférence et pour hauteur le rayon, 

 ainsi toute sphère équivaut (en volume) à un cône 

 ayant pour base la surface de la sphère et pour 

 hauteur le rayon-. 



(TnÉORÈME \U)^. • 



J° Le cylindre avant une Ijase égale au plus grand 

 cercle d'un ellipsoïde de l'évolution^ et une hauteur 

 égale ;i l'axe de ce solide vaut les o/:2 de l'ellip- 

 soïde. 



2" Quand on coupe un ellipsoïde par un plan 

 passant par son centre et perpendiculaire à son 

 axe, le deini-ellipso'ïde ainsi déterminé est double 

 du cône ayant même hase et même axe. 



Soit l'ellipsoïde K (fîg. 4) coupé par un plan 

 passant son axe suivani l'ellipse' ABFA, les ilia- 



> Elxlide. XII, 10. 

 - Soit S la surface, Y 

 rayon, G un granj cercle, 



(1) V = 



D'après riiypolhèse, \ - 

 vient : 



e volume île 

 ih'e tlieorèuie 



xc.ï. 



la sphère. R le 

 peut s'écrire : 



:SXj 



Substituant dans 1), il 



«^ 



,xc.î, 



c'cst-à-ilire S = 4C. 



Il faul ajouter que le texte est incertain et qu'on pour- 

 rait traduire inversement : <■ L'jdée de. ce théorème... est 

 nén lie ce que la surface dune sphère vaut 4 grands 

 cercles ». En elTel, dans le Traité De la s/ihére et du cylindi e I. 

 Archimède commence par établir longuement que l'aire de 

 la sphère vaut 4 grands cercles (§ 33 = I, p. 137, Ileib.), et 

 de là il déduit S 3ij le théorème que le volume de la spliè 

 vaut 4 fois le cône ABA. l'ouj-tant lleiberg croit et je crc. 

 avec lui que la pensée d'Archiiiiède a bien suivi l'ordre indi 

 que au le.vte. 



' Cf. De coaoid., prop. 29-30. 



* Archimèile dit : « un sphéroïde ». 



• Arcbiméde dit : « une section de cône acutangle ». 



:re 

 ■ois 



mètres Al", BA, le centre K; soit encore le grand 

 cercle de diamélre BA perpendiculaire à Ar. 



Considérons le cône ayant pour base le cercle BA, 

 pour sommet \, el ])rolongeons la surface latérale 

 jusqu'à son intersection, suivant le cercle EZ, avec 

 le plan mené par I" parallèlement à la base; cons- 

 truisons aussi le cylindre ayant pour base le 

 cercle EZ, pour axe AF; enfin prolongeons AF d'une 

 longueur égale A0,- et considérons WF comme un 

 levier ayant A pour milieu fixe. 



Dans le rectangle AZ, menons à EZ une parallèle 

 quelconque MN, et parMN un plan perpendiculaire 

 à l'axe AF. Ce plan coupera le cylindre suivant un 



il 



Fig. 4. 



cercle de diamètre MN, l'ellipsoïde suivant un cercle 

 de diamètre HO, le cône suivant un cercle de dia- 

 mètre np. 



Ou a : 



Ar _ AE _ MS 



^ ' Ai~Aii'~in' 



donc aussi : 



(2Î 



.MI" 



A0_MI_ 



AI ~lll ~.Mixin' 



Je dis maintenant que iMi X -H = -H -f--ï'- 



En eft'et, on a : 



(3) 



AS X ir _ AK X Kr 



ÏË' KB' 



car l'un et Fautre rapport égale celui du grand axe 

 au paramètre'. 



' Tw ■zf,; Tij.aytï; r.ç,ô; t/)v ôpôiîv. La r.'ia^ii (d'une ellipse) 

 est le grand axe (ou diamètre par excellence). L'ôp^ia ou 

 jiaraniètrc est une longueur dont la mesure est déterminée 

 pai- .\pollonius. Coniques. I, 13. Etant donnée une ellipse 

 dans un cône (lig. j). il mène. |iar le sommet, A du cône une 

 parallèle au granil axe EA de l'ellipse jusqu'à sa rencontre R 



