TH. REINACH — UN TRAITÉ DE GÉOMÉTRIE INÉDIT D'ARCHIMÈDE 



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Dès lors (puisque AK = Kr) 



Aix_sr _ AK_ _ AT 

 SE' ~ Kït- liî' 



intervertissant : 



AS' 



As.sr' 



su 



AS "LU 



Mais (à cause de :^=~' 



AI 



AS. 



Donc : 



c'est-à-dire 



IIM' 

 sïï' 



sn' 



cri 



?=2~SI1.11M 



Si =sn.riM. 



Ajoutant de part et d'autre 1.11', il vient : 



se' -I- sn' = sïï°' -I- sn . dm = sn (sn -f- hm) = sn x mi;, 



comme nous l'avions annoncé. 



Remplaçons maintenant, dans l'égalité (2), MI, X 

 m par sa valeur; il vient : 



A0 



cerrle MN 



AS vr-' _i. vjî' cercle <iï + cercle IIP' 



En d'aulres termes, par rai>port au point lixe A, 

 le cercle MN, restant en place, équilibrera la somme 

 des cercles OZ et IIP susi)endus au centre de gra- 

 vité commun 0, car les dislances des centres de 



avec un ciiainètrc BF de la base du cùne. 11 l'ccnd ensuite la 

 'perpendiculaire E0 à EA telle que : 



Ee_ BR.Kr 



EA~ âk' 



E0 sera le paramétre {o-.'i'iT. ApuUdnius drinnntre (I, 21; 

 p. "5, lleib.) ipie, pour un puinl 3 ipielcnni|iii' île l'ellipse, 



on a : 



ZS" paramètre 



AS X -I' ~ grand a.\e " 



Heilierg cioit (pic les mots soulignés a>i texte ont été inter- 

 polés ou du moins substitués 

 à une pbrase autrement rédi- 

 gée, parce que les termes 6p8ta 

 et Ti/iTiix sont île la création 

 d'Apollonius. 



L'égalité (3) peut d'ailleurs 

 être démontrée assez simple- 

 ment en considérant l'ellipse 

 comme la projection orthogo- 

 nale d'un cercle (tliéorème de Stevin). Soient 2a, ib 

 les axes de l'ellipse, y. y' deux ordonnées quelconques 

 correspondantes du cercle et de l'ellipse. On a évidemment 



b , . 

 dans le cercle : v* = AS.Sr et, comme v'=y -, il vient : 



^constante. 



Fig. 5. 



h« \s sr 



^'= = ^As.sr)-^d'oa 



y" b' 

 On peut aussi déduire cette relation de l'équation de l'ellipse 



rapportée à ses axes -^ -1- p ^ 1, d où y" = (a* — .\^i -^ . 



Or.: 



di + \] (a — x) 



y- i- i 



REVUE GÉNÉBALE DES SCIE.NCES, 1907. 



= -; = constante. 



gravité au point fixe sont inversement proportion- 

 nelles aux poids considérés. 



Semblablement, pour toute parallèle à EZ menée 

 à l'intérieur du rectangle AZ et par laquelle on 

 mène un plan perpendiculaire à AT, le cercle inter- 

 cepté dans le grand cylindre, restant en place, équi- 

 librera par rapport à A les deux cercles interceptés 

 dans l'ellipsoïde et dans le cône, transférés en <-), 

 comme centre de gravité commun. 



Remplissons complètement ces trois corps de 

 cercles semblables. Au total, le cylindre restant en 

 place éc[uilibrera l'ellijjsoide el le rone, AEZ trans- 

 portés en0. Le cylindre a pour centii» de gravité K, 

 on doit donc avoir : 



Ak' 



cylindre AZ 



ellipsoïde -)- cône AbZ' 



Mais0A=2AK, donc : 



cylindre AZ = 2 fois ellipsoïde -|- cône AEZ), 



Mais le cylindre AZ vaut trois fois le cône AEZ 

 qui a même base et même hauteur; donc : 



3 cônes AEZ =: 2 ellipsoïdes -f- 2 cônes AEZ. 



OU 



cône AEZ := :i ellipsoïdes. 



Le cône AEZ vaut iiuil fois le cône .\HA dont le 

 rayon de base et l'axe sont moitié des siens, donc 



eiilin : 



ellipsoïde ^ 1 cônes ABA 

 et 



- ellipsoïde : 



■ônes ABA. 



Menons maintenant dans le rectangle AZ les 

 parallèles X<I>, IIV à l'axe par les points B, A et con- 

 sidérons le cylindre <1>MÎ\. Il est évidemmeni 

 double du cylindre «t^'AB, qui a base égale el 

 axe moitié moindre; ce dernier vaut trois lois le 

 cône ABA. donc : 



cylindre <J)>fAB = 6 cônes ABA, 



el comme le cône vaut le ipiart de l'ellipsoïde : 



cylindre <I>'FAB = -- ou '- ellipsoïde. C.ii.f. d. 

 j 4 2 



(Théorème IV)'. 



Tout serjmnnl d'un puraholoïde de révolution-, 

 déterminé par un plan perpendiculaire à l'axe, 

 vaut les ^/j du cône ayant même hase et même axe. 



Soit un paraboloïde coupé par un jilan passant 

 par son axe, qui détermine la parabole B.vr(fig. ti). 

 Coupons le parabolo'ide par un second jilan, per- 



' Ce théorème est démontré géométriquement dans le 

 Traite Des coooitfes etc.,prop.21 ;1, 38(j, lleib.) iiar la méthode 

 dite d'exliaustion. 



- Acchiméde dit : « d'un conoïde orthogonal >'. La para 

 bote elle-même est dite « section d'un cône orthogonal » 



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