922 



TH. REINACH — UN' TKAITÉ DE GÉOMÉTRIh; INÉDIT D'ARCHIMÈDE 



peudiculaire à Taxe. Soient Bl' l'intersection des 

 deux plans, A.\ Taxe du segment, que nous prolon- 

 geons d'une longueur A0 =• AÂ, et considérons A0 

 comme un levier dont le milieu fixe est A. 



La base du segment est le cercle BF, perpendicu- 

 laire à AA. Imaginons un cône ayant pour base ce 

 cercle et ]>oiir sommet le point .\, et un cylindre 

 ayant pour base ce même cercle et pour axe ÂA. 

 Dans le rectangle EZFB, menons une parallèle quel- 

 conque M.\ à Br, et par MN un |)lan perpendicu- 

 laire à AA. qui coupera le cylindre suivant le cercle 







BAT 



Fi;;, li. 



MN, et le segment de paraboloïde suivant le cercle 

 HO. 



BAr étant un arc de parabole, AA l'axe de la 

 parabole, ï-, BA des ordonnées ', on a' : 



(1) 



AA_BA_ 



et comme AA = t)A, (BA = M-), il vieni : 



(2-, 



0A 



Mais cette dernière expression re]irésente aussi 

 le rapport du cercle MN au cercle HU. On a donc ; 



(3; 





cei'cie MN 

 ' cerrif EU ' 



Par conséquent le cercle MN, déterminé dans le 

 cylindre, équilibre par rapport au point A le cercle 

 HO déterminé dans le paraboloïde, suspendu au 



' M. .à m. " ck'S droites tiri'os ordonniMiient », TEtaYiiivu; 

 ï.aTTJY[iévai. Ailleurs (11. 231, Heib.), Anhiiiiède explique ce 

 terme ainsi : « cordes parallèles à la taufiente au sommet de 

 la courbe ». 



' Il Le carré de l'ordonnée est proportionnel à l'abscisse ». 

 C'est l'équation fondamentale de la parabole, qui se démontre 

 par les moyens élémentaires (cf. Rouché : Géométrie, 

 W 102.')). Elle figurait dans les Eléments des sections 

 coniques d'Aristée et d'Euclide. auxquels Archimède, dans la 

 Quiilratuiv de la parabole, prop. 3 ![[, :iOO, Heib.). renvoie 

 pom' la démonstration. 



centre de gravité : car 'le cercle MN a pour centre 

 de gravité son centre 2, le cercle SO transporté a 

 pour centre de gravité (à, et les distances des deux 

 centres au point tixe A sont inversement propor- 

 tionnelles aux cercles correspondants. 



On démontrera de même, pour toute parallèle 

 menée à BF dans le rectangle BFZE. par laquelle 

 on mène un plan perpendiculaire à .\A, que le 

 cercle déterminé dans le cylindre, restant en place, 

 équilibrera le cercle déterminé dans le paraboloïde, 

 transporté au point du levier comme centre de 

 gravité. 



Remplissons de cercles pareils le cylindre et le 

 segment de paraboloïde. Au total, le cylindre, res- 

 tant en place, équilibrera, par rapport au point A, 

 le segment de paraboloïde transporté en comme 

 centre de gravité. Dès lors, les distances de leurs 

 centres de gravité au point A devront être inverse- 

 ment proportionnelles à leurs volumes, ou, puisque 

 le cylindre a pour centre de gravité le milieu K de 

 son axe : 



A0 cylindre 



(4) 



AK segm. parab. 



MaisjVK est la moitié de .\0. le cylindre vaut donc 

 2 fois le segment de paraboloïde. Et, comme le 

 cylindre vaut 3 fois le cône ABF qui a même base 

 et même axe, on voit finalement que le segment 

 vaut les 3/2 du cône. 



(Théorème Y)\ 



Tout segment de paraboloïde de révolution, déter- 

 miné par un plan perpendiculaire à Faxe, a son 

 centre de gravité situé sur la droite qui forme Taxe 

 du segment, en un point tel que sa distance au som- 

 met soit double de sa distance à la base. 



Soit un segment de paraboloïde déterminé par 

 un plan perpendiculaire à Taxe (fig. 7). Coupons-le 

 par un autre plan passant par Taxe, qui détermine 

 la parabole BAF. Soit BF l'intersection des deux 

 plans, AA l'axe du segment et de la courbe. 



Prolongeons .\A d'une longueur égale A0, consi- 

 dérons A0 comme un levier dont le milieu lixe 

 est A, et inscrivons dans le segment de paraboloïde 

 un cône ABF. Enlin menons à l'intérieur de la 

 parabole une parallèle quelconque HO à BF, qui 

 coupera la parabole en H, 0, et les arêtes du cône 

 en II, P. 



' Au lieu de xai iaii (Heiberg, p. 204, 25), il faut lire ou 

 corriger Èax! -jàp. 



= bans le texte grec, nouvellement découvert, du Traité des 

 Corps flotlanls (passage correspondant à II, 317. Heib.). ce 

 théorème est mentionne comme démontré êv xaî; lao^poràcu;. 

 Comme il n'en est pas question dans le Traite qui nous est 

 parvenu sous ce titre, Heiberg croit qu'il s'agit du Traité 

 (perdu) Tte.ii Cui'iiJv. 



