TH. REINACH — UN TRAITÉ DE GÉOMÉTRIE INÉDIT DARCHIMÈDE 



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Dans kl paraliole, Hi:, BA sonl des perpendicu- 

 laires à l'axe. On a donc : 



(1) 



AABA' 



D'aulre pari (à cause des triangles semblables), 

 on a : 



'- AS^nii^BA.iii;' 



Par conséquent, en combinant (1) et (2): 

 bT;_ îîi= 



BA.IIÏ 



d'oii résulte ijue : 



ïi;- = BA.ni:. 

 ïi; est dcinr moyen proi»ortionnel entre BA et 

 



Fi" 



lli, et l'on a (en divisant les deux membres par 112"] : 

 BA _ë3!- 



BA AA 0A , 



Mais nous avons vu (2) que fîV = TV = Tv' '^^^^ '• 



eA ^ lE- 



Ai^-vîT' 



Menons par £( > un plan perpendiculaire à AA : il 

 coupera le segment de paraboloïde suivant le cercle 

 EO, le cône suivant le cercle IIP. 



— V- 



Le rapiiorl =^ est aussi celui du cercle ZO au 



i;ir 



cercle IIP. On a donc : 



0A cercle SO 



Â?~ cercle IIP' 



Ainsi le cercle ïO restant en place équilibrera, 

 par rapport au point A, le cercle IIP transporté au 

 point H, car ils ont pour centres de gravité les 

 points 1 ett), dont les distances au point fixe A sont 

 inversement proportionnelles aux surfaces des 

 cercles considérés. 



On démontrera de même que, pour toute autre 

 parallèle à BF menée dans la parabole, et par 

 laquelle on mène un plan perpendiculaire à AA, le 

 cercle déterminé dans le segment de paraboloïde, 

 restant en place, équilibrera, par rapport au point A, 

 le cercle déterminé dans le cône, transporté au 

 centre de gravité 0. 



Remplissons de cercles pareils le segment et le 

 cône. Au total, la somme des cercles du segment, 

 c'est-à-dire le segment, restant en place, équili- 

 brera, par rapport au point A, la somme des cercles 

 du cône, c'est-à-dire le cône, transporté au point 

 du levier comme centre de gravité. Le centre de 

 gravité du système total est A, le centre de gravité 

 du cône transporté est 0; dès lors (lemme I) le 

 centre de gravité de la différence, c'est-à-dire du 

 segment de paraboloïde, sera situé sur la droite A0 

 prolongée dans la direclion de A, en un point K tel 



q ue 



A0 scKiucnl 



AK. cùiie 



Mais on sait (Théorème IVj que le segment vaut les 



3 

 3/2 du cône; donc aussi A0 = -^ AK, et par consé- 



([ucnt le centre d(> gravité du segment de parabo- 

 loïde est bien silué en un ])oint de l'axe tel que sa 

 dislance au sommet soit double de sa distance à la 

 base. 



(Théorème VI). 



Tout hémisphère a pour centre df gravité un 

 point situé sur son axe et dont les distances au 

 sommet et à la base sont dans le rapport de 5 à S. 



Soit une sphère et un plan passant par son centre 

 qui la coupe suivant le cercle ABrA(lig.8). Traçons 

 dans le cercle deux ditimètres rectangulaires AF, 

 BA. Par BA menons un plan perpendiculaire à ÂF, 

 et considérons le cône ayant pour base le cercle de 

 diamètre BA (dans un plan perpendiculaire à AF), 

 pour sommet A, pour côtés AB, AA. Prolongeons 

 ÂF d'une longueur A0 = AF et considérons ©F 

 comme un levier ayant pour milieu fixe A. 



Dans le demi-cercle BAA menons une parallèle 

 quelconque HO à BA. Elle coupera la circonférence 

 du demi-cercle en H, 0, le cône en II, P, l'axe AF 

 en E. Par 20 faisons passer un plan perpendicu- 

 laire à AF. Il coupera l'hémisphère suivant le cercle 

 SO, le cône suivant le cercle IIP. On a : 



(1) 



AT 



AE 



Ar.AE 





Mais Aï" = AE' + EZ', AE" = EIl'. Substituant, 

 il vient : 



(-') 



.\r_Eir+j^ 



AE' 



EU" 



cercle HP + cercte ZO 

 cercle UP ' 



