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TH. RELVACH — U.N TRAITÉ DE GÉOMÉTRIE INÉDIT DARCHIMÈDE 



et, comme \Y 



(3) 



AE 



A0, 



_ ceiTle ïO + rerclp nP 

 cerole IIP 



Les cercles 20 et IIP ont pour centre de gravité E. 

 Si donc on suppose ces deux cercles en place, et le 

 cercle IIP seul transporté en comme centre de 

 gravité, les distances A0, AE des centres au point 

 fixe étant inversement proportionnelles aux sur- 

 faces représentées, il en résulte que les deux cercles 

 feront équilibre, par rapport au point A, au cercle 

 HP transporté en 0. 



[Le même raisonnement s"appli([uant à toutes les 



fif- 8. 



autres positions de la parallèle, en additionnant 

 tous les cercles pareils, on voit que le cône et 

 riiémisphère restant en place équilibreront, par 

 rapport au point A, le cône seul transporté en 0. 



Considérons maintenant, suspendu en 0, un cy- 

 lindre MN équivalent au cône ABA et divisons-le par 

 un plan horizontal en deux cylindres partiels dont 

 l'un M équilibre le cône par rapport à A : alors 

 l'autre cylindre partiel N équilibrera l'hémisphère. 

 Soit maintenant sur AH le point <1> tel que A* = 

 34»H : 4> sera le centre de gravité du cône (lemme 



AX 5 

 VIII). Je prends sur Ail le point X tel <lueYÏ7 = ^' 



. •. . AH 8 , 



ou, ce qui revient au même, -r-rr^x; : je dis que X 



est le centre de gravité de l'hémisplière. 

 En effet, puisque Je cylindre M (centre de gra- 



vité 0) équilibre par rapport à A ie cône ARA 

 (centre de gravité <I>), on a : 



cvl. M 



*A 



'0a' 



|a„ 



cône ABA 0A 2 AH 8' 



Comme : vol. cône ABA = vol. cyl. .MN, on a : 



(Vl. M 3 rvl. MN 8 



.vl. M 3 , 



..•yl. M ■ 



LVl. .N 



ou encore 



(1) 



<nne ABA 

 rvl. N '' 



8 , , . ,. AH 



5 -W 



D'autre part, on a (Théorème II) 



hémisphère 

 cône .VBA 



AR 



.Mullipliant membre à membre (i) et (2), il vient : 



hémisphère 

 , cylindre iN 



At) 

 A.\' 



I 



Mais le cylindre .N a pour centre de gravité 0; il 

 équilibre d'ailleurs — on l'a vu plus haut — l'hé- 

 misphère par rapport au point .\ : donc nécessai- 

 rement X est le centre de gravité de l'hémisphère'.] 



(TiiÉoRÈME vu;. 



Tout segment de sphère [à une Lase) est au cône 

 [de même hase et de même hauteur comme le rayon 

 de la sphère plus la hauteur du segment supplémen- 

 taire sont à cette dernière hauteur seule ^\ 



' J'ai suivi, pour suppléer cette démonstration, l'analogie 

 du théorème Vlll et les indications de la figure: mais on 

 pourrait arriver au mérpe résultat par une méthode plus 

 rationnelle, sans supposer le problème résolu. Puisque 

 hémisph. -f- cône (en place) équilibrent par rapport à A le 

 cône (en 01, le centre de gravité O du système « hémisph. 

 -|- cône » doit satisfaire à l'égalité : 



hémisph. -{- cône 



A0 

 Ml' 



et, comme hémisph. ^2 cônes, il en résulte .\e:=3.4Q: le 

 point Q est donc au tiers du diamètre (ou aux 2/3 du rayon à 

 partirde A. Le centre de gravité du cône (lemme Vlll)est en*, 

 aux 3 4 de AH. Donc le centre de gravite de l'hémisphère 

 seul — dilférence du- système et du cône — est (d'après 

 lemme I), sur <t>li prolongé dans le sens de Û, en im point 

 X tel que ; 



Xtl cône 1 



Q<1> ~ hémisph. 2 ' 



en d'autres termes, à une distance de Ci moitié moindre et 

 de sens contraire; que celle de <J>. Calculons .\X. On a Q* 



= A* — An = I AH - ^ AH = -i; AH ; donc XQ = i- AH et 

 4 ,1 12 24 



AX = AQ— XQ=|aH — -i-AH =^ AH=^AH. C.q.f. d. 

 3 24 24 s 



* Enoncé restitué d'après le Traité Sphère et cylindre. U. 2 

 (I, p. 194, Heib.), où .\rchimède donne une démonstration 

 (ou plutôt une vérification géométrique assez simple. 



Si l'on appelle R le rayon de la sphère, b la hauteur du 

 segment, h' celle du segment supplémentaire, l'énoncé 



