TH. REINACH — UN TRAITÉ DE GÉOMÉTRIE INÉDIT DARCHIMÈDE 



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[Coupons' la sphère ((îg. 9) par un plan passant 

 par le centre qui détermine le grand cercle AAFA' et 

 coupe le segment donné suivant l'arc A.VAA'B. 

 Traçons le diamètre AT passant par le sommet du 

 segment et qui coupe la base AB en H; menons le 

 diamètre perpendiculaire AA'. Tirons AA, AA' et 

 prolojigeons-les jusqu'à leurs rencontres E, Z avec 

 AR prolongée et W,Q avec la tangente en F. Imagi- 

 nons enfin les cônes ayant pour sommet A, pour 

 bases respectives les cercles de diamètre AB, EZ, M'ii, 

 et le cylindre ayant pour base le cercle Wil et pour 

 axe AT, cylindre que le plan de base du segment 

 coupe selon le cercle FY. Enfin prolongeons AF 

 d'une longueur A(-) = AF, et soit F© un levier ayant 

 pour milieu fixe A]. 



A l'intérieur du rectangle TY, je mène une paral- 



lèle quelconqu',' MN à AB et l'ais passer par MN un 

 ]dan perpendiculaire à AF. Il coupe le cylindre sui- 

 vant 11' cercle de diamètre MN, le segment sphé- 

 rique suivant le cercle HO, le cône AEZ suivant le 

 cercle IIP. 



On démontrera, comme précédemment, que le 

 cercle MX restant en place équilibrera par rapport 

 au point A la somme des cercles HO, IIP trans- 

 portés en H comme centre de gravité^ (Il en sera 

 de même ]i()ur toute autre position de la parallèle 

 MN et de son plan sécant.) 



Si donc l'on remplit entièrement le cylindre TY, 

 le cône AEZ et le segment AAB de cercles pareils, 



(i'\.[Tliiiuè(le donne pour valeur du segment sphérique 



ti 3 



AU' 



Comme — ~ = /) et que R -|- A' = 3R — /i, on voit que cette 



valeur revient à l'expression connue : V= ù//'IR — -j. 



' Tout ce commencement est perdu. Je l'ai restitué 

 d'après les iiulications de la figure et la marche ultérieure 

 (le la démonstration. 



* Cetle démonstration a déjà été faite au théorème II, où 

 la construction est identique. 



au total, TY restant en place équilibrera par rap- 

 port au point A la somme du cône AEZ et du 

 segment AAB transportés en 0. 



Prenons maintenant sur AF le point X tel que 

 AX = XH, et le point <I> tel que A* = 3*11. Le 

 point X étant le milieu de l'axe AH est le centre 

 de gravité du cylindre TY ; de même (lemme VIII), 

 •I> est le centre de gravité du cône AEZ. La relation 

 d'équilibre trouvée peut s'écrire : 



(I) 



cyl. TY 



,0.\ (•) 



cône AEZ + segni. AAB XA ' 



[c'est-à-dire : 



cyl. TY _ ri' — iJî 



cône AhZ -|- seg. AAB b h ' 



Mais 



donc : 



Or, 



donc : 



cyl. TY 

 cvl. EZ' 



cvl. TY 



h- 



_ IJ_U= 



cône .VEZ ti- 

 enne .AEZ II- h 



cone .\AB /j/j' h' ' 



cyl. TY 12 R' 

 Cône AAB ht' 



Substituant dans fl) ces valeurs de cône AEZ et 

 cylindre TY en fonction de cône AAB, il vient : 



12 H' 



cône AAB 



/i/i' 



cône .\AB— -1- segm. 



' R ' 



d'où : 



11! /12R= tR\ . 4R/3R ,\ 



segm, — = c.me (^^^ _ — j = cone ^[-j;— 1 j 



donc 



ône ti'\h ) h' ' } 



se 

 cone 



(Théorème VIII)'. 



'Tout segment sphérique plus grand qu'un hémi- 

 sphère [?] a son centre de gravité situé sur son 

 axe en un point tel que sa distance au sommet est à 

 sa distance à la hase comme la hauteur du segment 

 plus quatre fois la hauteur du segment supplémen- 

 taire est à la hauteur plus deux fois la hauteur du 

 segment supplémentaire : 



XA_ HA -I- 4 un 

 XH~HA -|-2HrJ 



' Pour la lin de la démonstration, j'ai suivi la restitution 

 de Zeuthen, en introduisant les notations R, h, h'. 



' Enoncé et figure restitués d'après lleiberg. Il résulte de 

 l'énoncé de IX que, dans le théorème Vlll il. ne s'agissait 

 que d'une variété particulière de segments. Cette précision 

 paraissait nécessaire à Archimède pour établir sa figure, 

 mais la démonstration est la même, quelle que soit . la 

 dimension du segment. Il va sans dire que l'énoncé pour- 

 rait aussi être restitué ainsi : tout segment » plus petit 

 qu'un hémisphère ». Cf. Spbi-rc et Cylindre, I, 42 et 43. : 



