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TH. REINACH — UN TRAITÉ DE GÉOMÉTRIE INÉDIT D'ARCHIMÈDE 



[Stiil BÂA (lii;-. 10) un segment, spliérique, plus 

 grand que riiéniisplicre. Je prends sur sa hauteur 

 XA AH + Uir 



AH le point X tel que 



je dis 



XH AH + ^2Hr 



que X est le centre de gravité du segment.] 



Prolongeons Ar de A0 = Ar, et, dans l'autre 

 sens, de FH égal au rayon de la sphère, et consi- 

 dérons r© comme un levier ayant pour milieu 

 fixe A. Dans le plan de base du segment, de H 

 comme centre, traçons un cercle avec un rayon 

 égal à AH. Imaginons le cône qui a ce cercle pour 

 base, A pour sommet, AE, AZ pour génératrices. 

 Enfin, menons une parallèle quelconcfue KA à EZ 



IVl 



Fig. 10. 



qui coupe la circonférence en K, A, les génératrices 

 du cône en P, 0, la hauteur en H. 

 On a d'abord ' : 



(1) 



AT _ AK 



_Mais^' = ah' + IIK', Air = no' — puisque 

 AH'^ EH" — ; donc : 



„, rA_ iÛÏ' + ilÔ^ _ cercle KA + coirle PC) 

 ' AU n7,» ~ cercle l'O 



et, comme AF = A0 : 



A0 cercle KA + cercle PO 



(3) 



AH 



lercle PO 



' Car, clans le triangle rectangle ARP, on a AK' = Ad. AT 

 Divisant les (leu.\ membres par AO', il .vient bien (1). 



Si donc on sujjpose le cercle PO déterminé dans 

 le cône par le plan parallèle à la base du segment, 

 transporté en .0 comme centre de gravité, puisque 

 KA, PO ont pour centre de gravité H, le cercle trans- 

 porté fera équilibre par rapport au point A à la 

 somme des deux cercles KA, PO — déterminés dans 

 le segment et dans le cône — laissés en place. 



11 en sera de même pour tous les cercles de 

 même genre déterminés parles plans parallèles fi la 

 base du segment : toujours le cercle déterminé dans 

 le cône AEZ, transporté en 0, équilibrera par rap- 

 port à A ce même cercle et le cercle déterminé dans 

 le segment sphérique, laissés en place. Au total 

 donc, le segment et le cône, laissés en place, équili- 

 breront par rapport à A le cône transporté en 9 

 comme centre de gravité. 



Considérons maintenant un cylindre MX équi- 

 valant au cône AEZ et prenons sur AH le point 4» 

 tel que AH = 4<1>H : <1> sera, comme on l'a vu 

 (lemme VIII), le centre de gravité du cône AEZ. Cou- 

 pons le cylindre par un plan perpendiculaire à ses 

 génératrices, qui le divise en deux cylindres tels que 

 l'un d'eux M fasse équilibre au cône .AEZ. Puis- 

 que le cylindre total équivaut au cône .\EZ, 

 qui, en 0, équilibre le cône et le segment en place, 

 si le cylindre partiel M équilibre le cône AEZ, 

 le reste, c'est-à-dire le cylindre partiel N, équili- 

 brera le segment. On a vu (Théorème VII) que : 



segm. BAA _ m 

 cône BAA "" HT' 



(4) 



D'autre part : 



cône BAA cercle BA BH" PHIIA FH 



(5) 



cône .AEZ cercle tZ ^^£- 



(Comparant (4) et (o) il vient : 

 segm. B\A 



HA 



HA 



(6) 



cône AEZ 



zn 



HA' 



Nous avons par construction : 



AX HA + iHr . XH 2Hr + HA 



^rr; = n r-rr , ou mverseuienl — -: = — . 



XH HA+iHl' AX 4Hr-t-HA 



Si l'on combine ces deux expressions (en addi- 

 tionnant aux numérateurs de la seconde ceux de 

 la première), il vient : 



.AX + xH (HA-i- 4Hr)-i-i2nr + ha; 



En effet, si l'on emploie les notations alnvgëes K rayon 



