TH. REINACH — UN TRAITÉ DE GÉOMÉTRIE INÉDIT DARCHIMÈDE 



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Par conséquent : 



<S) 



AH Hï 



HE ra> 



IX=r5' o» encore ^^J^ = ■^. 

 H s 



En portant celte valeur de ^ dans l'équation (6), 



on a : 



spffiii. BAA r* 



(9) 



L-ùnt- AEZ 



XA' 



Le cylindre M équilibre par rapi)ort à A le 

 cône EAZ. Ce cylindre a pour centre de gravité 0, 

 le cône a pour centre <I>. On doit donc avoir : 



conc EAZ OA FA oyi. M _ A* 



'*"' cyl. M =.TÂ = .\^' ''" ryOÎN-TA' 



(d'où en soustrayant les numérateurs des déno- 

 minateurs) : 



cvl. M A* 



(11) 



cyl. N r<t> 



(ou en ajoutant les dénominateurs aux numéra- 

 teurs) : 



cyl. MX _ AT 



cyl. .\ ~ra>' 



ou encore, puisque le cylindre MN équivaut au 

 <'one EAZ : 



(12) 



■une EAZ _ TA _ aV 

 cyl. .N ^r*"' r*' 



CoHil)inant (12) et (9), il vient : 



se^nn. BAA _ Ftl-.AW _ A0 



(13 



cvl. -N 



XA.r* XA' 



Mais on a vu que le segment équilibre par rap- 

 port à A le cylindre N : le cylindre ayant pour 

 ■centre de gravité©, cette égalité ne peut être vraie 

 que si X est le centre de gravité du segment. 

 C.q.f.d. '. 



(le la sphère) et b (liauteiu' du segment), on a dabonl : 

 6Hr -f 2AH = 6(2R — A) 4- 2/1 = 12R — 4/): 



or, HH = Hr -1- rS = (211 — fi) -|- R = 3R — i, c'est-à-dire le 

 quai't de l'expression ci-dessus. 

 De même : 4Hr -f- HA = 4(2R — i) -|- 47j = SR — 3/j ; 



or, r* = ru -h <1>H = 2 H — A -f 7 = 2 R — -p , c'est-à-dire en- 



■core le (piart de l'expression ci-dessus. 



' La démonstration d'.Vrctiimède est assez pénible et 



, . XA 

 ■oITre, de plus, l'inconvénient de supposer la relation ^ =; 



HA-f 4Hr ,. ^ ., , , ,. r 



77-;—^ — rrr; découverte on ne sait comment et d en fournir sim- 



HA-f;;Hr 



plement la vérification. 11 semble qu'Archimède aurait pu 



établir directement cette relation de la manière suivante 



(j'emploie, pour abréger, les notations AS = R. .\H = ii, 



Hr= // et je note tout de suite que, puisque ii' = 2R — ij. 



.H=H^.) 



On a vu, dans la première partie de la démonstration, .[ue: 

 (segin. .VBA -I- cône .\EZ) restant en place équilibrent (par 

 rapport à A) cùne AEZ au c.g.0. Appelons Q le c.g. du sys- 



(TUÉORÈME IX). 



Tout segment sphérique a son centre de graviti- 

 sur son axe en un point tel que sa distance au 

 sommet soi' à sa distance à la base, comme la hau- 

 teur du segment plus quatre lois la hauteur du 

 segment supplémentaire est à la hauteur du seg- 

 ment plus deux fois la hauteur du segment supplé- 

 mentaire. 



Ce théorème se démontre de la même manière 

 que le précédent '. 



tème isegm. ABA H- cùne AEZ). Cette relation d'eqi]ilibi-< 

 implique l'égalité : 



(1) 



QA ci'ine AEZ 



ëÂ ~ cùne AEZ + ïscgm. ABA" 



Calculons segm. ABA en fonclion du cùne AEZ. On a vu 

 (Th. Vil) que : " 



(il 

 Mais 



(3) 

 d'où : 



l4) 



segm. ABA _R-|-/i' 

 cône -VBA 



cône ABA _ HA' 

 cône .VEZ IIZ- 



seam. .\BA 



cône .AliZ // 



lieraplaçant segm. ABA par cette valeur ilans (1), il vient : 



// A_. 



3fi ' 





cône 



R-f;/\ h + W+h' 



(■ + '^) 



iroù : 



(6) 



— ¥• 



Ainsi le c.g. iî du système (segm. ABA -(- cône .-VEZ) est 

 situé aux 2/3 de AH à partir de A. Le cône seul (lemme Vlll) 

 a son c.g. en «I» aux 3/4 de AH à partir de A. Si donc on 

 appelle X le c.g. cherché du segment seul, on a ^d'après 

 leuiiue 1) : 



H) 



XQ 



U4> 



cône AEZ 



2b 



segm. ABA ~ R + b' 

 Comme Q* = A* — AQ 



b' 



b -r'Sb'' 



3 " Il 

 -Il — r ;,=-_, il vient donc : 



4 3 12 



(8) 

 X\ = AQ • 



•XQ = 



xn = 



2/1 

 3 



12[H + b')' 



A' _ :!i r.T _ _Jl_i ■ 



12 (R -l- 73') ^ 3 L" i[H + b')r 

 b b* br, , b -\ 



^« = "« + ^" = 3 + IITÏÏT^ = î L' + 4TR+V)J ' 



et par conséquent : 



AX _ s R -I- 8 /i' — /j _ 12 /i' -^ 3 h ^ i b' + b 

 XÏÏ"4R + 4/i'-|-/'~ lib' + 5b~2h' i-b' 



ce qui est l'expression clierchée. 



• Dont il n'est que la généralisation. Dans les traités de 

 Mécanique modernes, la position du centre de gravité du 

 segment sphérique est ordinairement déterminée par sa dis- 

 tance au centre de la sphère, à l'aide de l'intégration. On 

 3!2R — /i)" 



trouve l'expression D : 



"4 3R- 



'--L. Il est facile de voir l'cipii- 



- b) 



