954 



TH. REINACH — UN TRAITÉ DE GÉOMÉTRIE INÉDIT D'ARCIIIMÈDE 



UN TRAITÉ DE GÉOMÉTRIE INÉDIT D'ARCHIMÈDE 



(restitl:tio.n d'après un manuscrit récemment découvert) 



TEXTE DU TRAITE (Suite et nn.y 



(TUÉORÈME XI-XIV). 



Si. clans un prisme droit à bases carrées, on 

 inscrit un cylindre avant ses bases inscrites dans 

 les carrés opposés et sa surface latérale tangente 

 aux plans des 4 faces latérales du prisme, un plan 

 passant par le centre du cercle de base et Fun des 

 côtés du carré opposé délacliera du cylindre un 

 volume' qui sera le sixième du volume total. 



Nous allons d'abord établir cette proposition par 

 la rnélhode susdite [XI, XII, XIII], puis procéder à 

 la démonstration géométrique proprement dite 

 [XIV]. 



(XI). 



Soit donc un cylindre inscrit dans un prisme à 

 bases carrées. Coupons le prisme par un plan 



Fig. 12. 



passant par son axe et perpendiculaire au plan 

 TaB (fig. 12) qui a détaché le sabot de cylindre. Ce 

 plan coupera le prisme circonscrit (fig. 13) suivant le 

 rectangle AB et le plan sécant suivant la droite 

 Br. Soit FA l'axe commun du prisme el du cylindre, 

 EZ une droite qui lui soit perpendiculaire en son 

 milieu (01 ; par EZ menons un jjlan i horizontal) 

 perpendiculaire à l'A. 



Sa section dans le jirisme sera un carré MN 

 (fig. 11), et dans le cylindre un cercle ZOIIP, tangent 

 aux côtés du carré aux points E, 0, H, P. Le 

 plan sécant et le plan horizontal mené par EZ se 

 coupent suivant la droite KA, que le diamètre IIQZ 

 B 



' Voir la première partie du Traité, avee l'introduction 

 de M. I*. Painlevé et la Notice préliminaire de M. Th. Rei- 

 nach, dans la Revue du 3(1 novembre 19U7, t. XATU, p. 911 

 et suivantes. 



' Ce n sabot » ou « onglet » a pour faces : 1° une portion 

 de l.i surface cylindrique : i" un demi-cercle ; 3" une demi- 

 ellipse (intersection d'un cylindre pai' un plan oblique). 



coupe en son milieu. Dans le demi-cercle ÛIIP, 

 menons une droite quelconque — T perpendiculaire 

 à ce diamètre et à une distance nX de FI; par 



cette droite, faisons passer un plan (vertical) per- 

 pendiculaire au diamètre UZ et prolongeons-le de 

 part et d'autre du plan (horizontal) ZOilP. Ce plan. 



Fig. 14. 



(vertical) déterminera : 1° dans le demi-cylindre 

 — qui a pour base le demi-cercle OIIP et pour 

 hauteur l'axe du prisme — une section en forme 

 de rectangle dont un côté i horizontal = -T, et l'au- 

 tre côté (vertical) = l'axe du cylindre; 2° dans le 

 sabot de cylindre, un autre rectangle dont un 

 côlé (horizontal! = 2T, l'autre : vertical) = NY, ÎVY 

 étant une parallèle à Blî, menée dans le rec- 



