TH. REINACH — UN TRAITÉ DE GÉOMÉTRIE INÉDIT DARCHIMÈDE 



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tangle AB' (fig. 13), à une dislance lE (de Bii) égale 



à xn. 



Puisque EF est un rectangle et NI, W des paral- 

 lèles coupées par E0, BP, on a : 



Ef) nr _ ne 

 tu ^r.N ^ VN" 



Or, le rectangle déterminé dans le demi-cylindre 

 est au rectangle déterminé dans le sabot comme 

 iiB est à YN : car leurs deux autres côtés sont 

 égaux à -T. On a donc : 



rect. (lu 1/2 cyl. _ PB _ Eg 

 recl. du sabot ~ ÏN 01 ' 



es 



dessous du plan OHOP. Chacun de ces plans pro- 

 duira : 1° dans le demi-cylindre qui a une base 

 égale à OIIP et une hauteur égale à l'axe une 

 section en forme de rectangle, dont un côté égale 

 K2 (ou TZ) et l'autre égale l'axe; 2° dans le prisme 

 triangulaire 01IM une autre section rectangulaire, 

 dont un côté égale AX (ou Y4>) et l'autre égale 

 l'axe. 



[Considérons la paire de rectangles égaux AX, 

 Y4) du prisme, d'une part, et les rectangles corres- 

 pondants ^K, ZT du demi-cylindre, d'autre part. 

 Tous ces rectangles ayant même hauteur, leurs aires 



Supposons donc le rectangle du sabot suspendu en 

 Z, ce i)oinl étant son centre de gravité, et 115 un 

 levier dont le milieu fixe est 0. Le rectangle du 

 demi-cylindre ayant (lemme V) pour centre de gra- 

 vité X, l'égalité susdite signifie que les distances des 

 deux centres au point fixe sont inversement pro- 

 portionnelles aux aires des rectangles, et par con- 

 séquent que les deux rectangles s'équilibrent par 

 rapport à 0. On démontrerait de même, pour toute 

 autre position de la perpendiculaire à 110 menée 

 dans le demi-cercle OHP et par laquelle on mène un 

 plan perpendiculaire à 110, prolongé dans les deux 

 sens, que le rectangle déterminé dans le demi-cylin- 

 dre, restant en place, équilibrera par rapport à 

 le rectangle déterminé dans le sabot, transporté au 

 centre de gravité H. Au total, la somme des rectan- 

 gles du demi-cylindre — c'est-à-dire le demi-cylin- 

 dve restant eu pince — équilibrera par rapport à 

 la somme des rectangles du sabot, c'est-à-dire le 

 sahol lui-même, transporté en £. 



(XII). 



Considérons maintenant séparément (fig. 13) le 

 carré MHN«1' perpendiculaire à l'axe, [le cercle 

 SOllP, les diamètres rectangulaires PO, IW. Tirons] 

 0M, 011 et, par ces droites, menons des plans (ver- 

 ticaux) perpendiculaires au plan du demi-cercle 

 OnP et prolongeons-les au-dessus et au-dessous de 

 ce plan. Nous formerons ainsi un prisme triangu- 

 laire ayant pour base un triangle égal à 0MH, et 

 une hauteur égale à l'axe du cylindre : ce prisme 

 est (évidemment) le quart du prisme total circons- 

 crit au cylindre. 



Dans le carré MX, tirons deux droites KA, TY, 

 équidistantes de HE (et parallèles à ce diamètre) : 

 elles coupent la demi-circonférence OnP aux points 

 K, T, le diamètre OP en 1,7., les obliques 011, 0M 

 en X, 4>. Par ces droites, menons des plans perpen- 

 diculaires à OP et prolongeons-les au-dessus et au- 



» Le texte dit AE. 





<; 



— égales deux à deux — sont proportionnelles à 

 leurs seconds côtés. On a donc : 



rect. •^-\^ + ivct. ZT ^ 2 rect. SR _ SR 

 recl. A.\ + rect. Y* ~ 2 rect. A.V A.X' 



Les rectangles SK, ZT ont respectivement leurs 

 centres de gravité au point de rencontre de leurs 

 diagonales (lemme V) et par conséquent aux milieux 

 des droites I;K, ZT. Le centre de gravité de leur 

 système sera donc situé sur la droite qui joint ces 

 milieux (lemme II) et, par raison de symétrie, au 

 milieu de cette droite, c'est-à-dire à sa rencontre p 

 avec EU. 



Semblablement le centre de gravité du système 

 des rectangles AX, Y* sera situé à la rencontre a 

 de zn avec la droite qui joint les milieux de 



AX, Ya>. 



Le triangle rectangle HAX, semblable à H30, 

 étant isocèle, on a AX = HA = 2P. On a donc 

 successivement : 



SK' 



IP.SO 



rect. y:i; -l-rec.t. ZT _^K._ 



i-ect. A.\ + rect. Y* "~ XP i;p.i:K i;P.i;iv 



20 



lP+2i;0 AX + 2X:^ 2 ' + ' ^ 



ilK. 



ilR 



Or 1;21K=(50; 1/2 AX-f- X2= a0. Si donc ou con- 

 sidère ïH comme un levier dont est le milieu fixe, 

 les systèmes [IM -\- ZT), (AX + Y*) se font équilibre 

 par rapport à 0. Il en est de même pour toutes les 



