'JoG 



TH. REINACH — UN TRAITÉ DE GÉOMÉTRIE INÉDIT DARCHIMÈDE 



uLilres posilions des parallèles conjuguées AK, YT. 

 Doue, au total, la somme des rectangles interceptés 

 dans le jn-isme 1K-)M — c'est-à-dire le prisme H0M 

 — équilibrera par rapport à la somme des rec- 

 tangles du demi-cylindre — c'est-à-dire le demi- 

 cylindre OllP. 



Cin a vu plus haut que le (iemi-cyliiulre é(piililire, 

 par rapport au même point fixe, le sal)0l tninsporlé 

 t'ii 1. : il en résulte, par symétrie, que le sabot trans- 

 porté en II équilibrera le prisme H0M restant en 

 place. Le prisme i)eut être considéré comme la 

 somme des triangles égaux à I10M empilés sur 

 une hauteur Bii. Chacun de ces triangles a son 

 centre de gravité au point de rencontre de ses mé- 

 dianes (lemme IV), c'est-à-dire aux deux tiers de la 

 médiane partant du sommet situé sur Taxe. Tous 

 ces centres de gravité sont d'ailleurs évidemment 

 en ligne droite; dès lors, le centre de gravité du 

 [)risme lui-même est sur cette droite (lemme II) et, 

 par raison de symétrie, au milieu de cette droite, 

 c'est-à-dire aux 2/3, en y, de la médiane du triangle 

 I10M intercepté par le plan' équidistant des bases. 

 L'équilibre du sabot et du prisme triangulaire par 

 lapport à exige donc qu'on ait : 



sabot 



prisme H0M 



IIH ' 



et comme le prisme II0M est le quart du prisme 

 total, il vient bien : 



sabnl 



pnsmu Ab 



:f- = i. C.q.l'.a.l 



(XIII 



Deuxième démonstration.) 



Soit un lu'isme droit à bases carrées, ABFA une 

 de ses bases (flg. Iti), un cylindre inscrit dans ce 



prisme, ayant pour base le cercle K tangent en E,Z, 

 H.0aux 4 ci'ités du carré ABrA. Par le centre K de 



' J'ai été obbfré (l'inli'i;iluire cctle (Jéiiionslration suin- 

 niaire de la position du centre de gravité d'un prisme, ce 



ce cercle et le coté (T'A') de la base opposée du 

 prisme qui correspond à FA, je mène un plan. 

 U détache du prisme total un prisme partiel qui 

 en est le quart et qui est comj)ris entre trois rec- 

 tangles (HEAT, HEAF, TAFA' et deux triangles 



j 



Fig. 17. 



(rectangles) opposés (EAA', UFF'}. Dans le demi- 

 cercle EZII, inscrivons un segment de parabole, 

 ayant pour base HE et pour axe KZ (fîg .17). Dans le 

 rectangle AH, menons une parallèle quelconque M.N 

 à KZ : elle coupera la circonférence du demi-cercle 

 en S, la parabole en .V. On a évidemment : 



(1) 

 et par conséquent 



(2) 



MN..\N = NZ- 



AN 



AÎ;' 



^ •' = 



IIR 

 MR- 



Par MN menons un plan (vertical) perpendicu- 

 laire à EH (fig. 16j. Il interceptera : l" dans le 

 prisme parti.'l, un triangle rectangle (MNN'), ayant 

 pour côtés de l'angle droit MN et une perpendicu- 

 laire (NN') à FA en N dans le plan FA (A'F'), et 

 l'hypoténuse dans le plan sécant; 2° dans le sabot 

 cylindrique, détaché par le plan sécant, pareille- 

 ment un triangle rectangle (MZZ'). ayant pour côtés 

 de l'angle droit MZ et une perpendiculaire (ZZ') 

 au plan KN menée le long de la surface du cylindre, 

 [et l'hypoténuse dans le plan sécant. 



tlicoréiiie ne li^'urant p.is dans les nuM-ages conserves d'.\r 

 chiniéde. 11 est possible qu'il lût expose dans un ouvrage 

 perdu auquel l'auteur se contentait de renvoyer ici. 11 est 

 possible aussi qu'au lieu du centre xle gravite du prisme, 

 Archimède ait déterminé celui du demi-cylindre. 



' La première proposition est démonirée dans Apollonius, 

 Coniques, 1, 11, et l'était probablement dans les ouvrages 

 élémentaires sur les coniques connus d'Arcbimède. On en 



déduit aussitôt 



JIN \.\ ^ 'yy? ' ''" •''"'"plaçant HK pai- 



, . MN IIR' (ou MN^ -. , ,. .„ 

 MN,XZparAi:,ilvient--^ = ^^:î . Notonsd ailleurs 



que l'égalité (2) résulte immédiatement de l'équation de la 

 IR*- ZR MN 



parabole [Quad. jini-ab. 3 



Zil AN 



