TH. REINACH — UN TRAITÉ DE GÉOMÉTRIE INÉDIT D'ARCHIMÈDE 



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Les triangles iMNN', U-::.' élaiit semblables, on a : 



Ir. MNN' 

 ^^' U: MEE'- 



Mais mFj= Mil. me 

 zÏÎK' — MK". Donc : 



II-. MNN' 



MV 



Ml' 



lIIK — MK) (IIK+MK) 



IIK.' 



ti-. .MZE' 



HR 



MIC 



Or l'égalité (2) donne : 



MN 



IIK= 



MN — N'A HIC 



.\IK°- 



donc : 



Ir. M.N'X' _ M.N _ MN (') 

 tr. .MEE' ~ MN — AN ~ MA ' 



c'est-à-dire: le triangle interce]ilé dans le iirisme par- 

 tiel est au triangle inleree])té dans le sabol comme 

 la parallèle M.N menée dans le rectangle Ili'AE 

 est à la partie de cette parallèle comprise entre EH 

 el la parabole. Cette relation étant vraie pour n'im- 

 porte quelle ])osition de la parallèle, au total] la 

 somuK' des Iriangles du |)risme partiel est à la 

 somme des triangles du sabot comme la somme 

 des parallèles .M\ est à la somme de leurs sections 

 com|irises enire IlE et la courbe. La première somme 

 n'est autre que le prisme ])artiel, [la seconde le 

 sabot], la troisième le rectangle lU'AE, la quatrième 

 le segment jiarabolique IIZE, donc : 



Iirisiiie partiel rccl. HI'AE 



(5) 



sal)ot 



se^iu. liZIl ' 



[Le rectangle III'AE vaut deux fois le triangle IIZE; 



le segment ]iaraboliipH' IIZE vaut les 4/3 de ce 



Iriau] 



donc 



Iriangle] car ceci a èlè moiili'è précédemment"; 



prisiiir |>artifl 2 3 



sâbiïï ~TJ^~2' 



Si donc le salml vaut -2. le prisme partiel vaut ;{, 

 l'I le prisme total (pii en est le quadi'uple vaul li : 

 donc le sabol est bien le ti'' du prisme. C.(i.r. d. 



(XIV 



Juslilicatioii j-igoiireuse do la démonstration 

 précédente). 



Soit un prisme droit à bases carrées, .\Br.i une 

 de ses bases' [un cvlindre EZ1I0 inscrit dans le 



' Théorème I. On peut aussi traduire (en lisant vi toïç 

 ■iip-jTSfov ix'teôojiévouj " flaus un ouvrage précédent », à savoir 

 dans Quadr. parab.. Il, p. 2j1 et suiv. 



= Les mots qui suivent (s'ils sont bien déchiffrés) signifie- 



|)risme. Un plan mené par le centre K du cercle de 

 ba.se EZH el un des côtés (F'A') de la base opposée 

 du prisme coupe le cercle de base suivant le dia- 

 mèlre EH (parallèle à AT')... Il détache du prisme 

 total un prisme partiel (Iirr'EAA') et du cylindre 

 total un sabol cylindri(jue : il s'agit de montrer que 

 ce sabol vaut le sixième du ])risme total. 



1" Je vais montrer d'abord qu'<ui peut inscrire 

 dans le sabot cylindri(iue et lui circonscrire deux 

 solides composés chacun d'une série de prismes 

 i|ui ont même hauteur et poui- bases des triangles 

 scmldables, solides tels qu'on peut ramener leur 

 dillèrcnce à être plus petite que toute grandeur 

 tlonnée. 



[Divisons (fig. 18) le diamètre HE en un nombre 

 (juelconque de parties 

 égales; par chacun des 

 points de division, me- 

 nons des parallèles MN, 

 M,N,... à KZ et par ces 

 droites des plans per- 

 pendiculaires au plan de 

 base K. Ces plans divi- 

 sent le prisme partiel 

 Iirr'EAA' en une série 

 de prismes élémentaires 

 ayant même hauteur = 

 MM, et pour bases des 

 triangles )■ e c t a n g 1 e s 



M. 



égaux = MNN' 



[voir 



16). Ils déterminent 



Kit;. 18 



aussi dans le sabol une 



série de sections en forme de Iriangles rectangles 

 inégaux MZZ', M, Z.Z',... Considérons deuxseclions 

 voisines et soit M,ï, >MZ. Projetons E sur M,N, 

 en ;, et S, sur MN en l, el formons dans les plans 

 verticaux les Iriangles M;;' = M,ï,E'„ M,^.?', 

 = MZZ'. Le prisme élémentaire déterminé par les 

 deux triangles égaux MZZ'M,;,ç', est évidemment 

 contenu tout entier dans la section du sabot qui a 

 pour base le trapèze curviligne MZZ, M,. Au con- 

 traire, le prisme élémentaii'e déterminé par les 

 Iriangles égaux M^;M,Z,Z', contient tout entière 

 cette même section. En opérant de même pour la 

 section suivante, on b^-mera de même un prisme 

 élémentaire M,Z,Z',MiJ'^ inscrit dans le sabol et 

 un prisme élémentaire M,}|'M,Z,Z'.^ circonscril el 

 ainsi de suite. Si l'on compare les deux séries ainsi 

 formées, on verra que chaque prisme élémentaire 

 de la série circonscrite a pour équivalent un prisme 

 de la série inscrite : ainsi le prisme circonscril 

 M;M,Z, équivaut au prisme inscrit M,Z, M,;., de la 



raient ; « Connue le prisme est au prisme, ainsi le cercle 

 EZII est... », ce qui n'offre point de sens. Il serait exact, 

 mais sans intérêt, de dire que le prisme est au carré qui 

 lui sert de base coanme le cylindre est au cercle EZH. 



