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TH. REINACH — UN TRÂ.1TÊ DE GÉOMÉTRIE INÉDIT D'ARCHIMÈDE 



sei'lion suivanle'. Seul le dernier prisme circon- 

 scrit M,N,ZK n'a pas d'équivalent dans la série 

 inscrite. La différence des deux séries se réduit 

 donc à ce s?ul prisme deux fois répété (dans 

 chacun des deux quarts de cercle). Or, ce prisme 

 peut èlre rendu aussi petit que l'on veut en multi- 

 pliant le nombre des divisions du diamètre HE et 

 des plans verticaux '*: donc aussi la ditlérence des 

 deux séries de prismes élémentaires, c'est-à-dire 

 des deux volumes considérés, peut être rendue plus 

 petite que toute grandeur donnée. A plus forte 

 raison peut-on rendre plus petite que toute gran- 

 deur donnée la différence de chacun de ces volumes 

 et du sabot qui est compris entre eux. 



1° Je vais montrer de même (fig. 19) que si l'on 



trace l'arc de para- 

 bole HZE inscrit dans 

 le demi-cercle HZE, 

 on peut inscrire et 

 circonscrire au seg- 

 ment parabolique 

 HZE deux séries de 

 rectangles éléra.entai- 

 res ( correspondant 

 aux prismes élémen- 

 taires des volumes du 

 sabot) dont la diffé- 

 rence peut devenir 

 plus petite que toute 

 grandeur donnée. 



Chacun des plans 

 sécants verticaux de 

 tout à l'heure détermine dans le segment parabolique 

 une trace M.V,M,A|, etc. Ces traces sont équidis- 

 tantes et de grandeur croissante depuis H jusqu'à Z. 

 Si donc nous projetons A en \ sur M,N,, A, en \ 

 sur M„N\... et de même A, en X' sur MN, A^ en X', sur 

 M,N|..., nous formons deux séries de rectangles : 

 l'une enveloppante IIX„AM, MVA,M,, ... l'autre enve- 

 loppée MA),, M,, M,A,>.jM3..., et chaque rectangle de la 

 série enveloppante équivaut au rectangle enve- 

 loppé de la section suivante (11X„AM ^M.VX,M,). 

 Seul, le dernier rectangle enveloppant M^^N^ZK 

 reste sans équivalent. La difTérence des deux séries 

 se réduit donc à ce rectangle élémentaire (deux fois 

 répété), et comme, si le nombre des divisions du 

 diamètre est suflisamment grand, on peut rendre 

 ce rectangle aussi petit qu'on veut, la différence 

 des deux séries elle-même (et a fortiori la différence 

 de chacune d'elles à l'aire du segment parabolique 

 quelles comprennent entre elles i peut être rendue 

 plus petite que toute grandeur donnée. 



3" Le prisme [larliel est au solide inscrit (ou cir- 



' Cf. EucLiDE, Elem., X, 1. 



• Cf. De Conoidibus, 19 (I. 371, Heiberg. 



conscrit I au sabot cylindrique comme le rectangle 

 HFAE est à la Somalie des rectangles élémentaires- 

 inscrits (ou circonscrits) au segment parabolique. 



Considérons d'abord le solide circonscrit ffig. 19;. 

 A chacun des prismes élémentaires déterminés 

 dans le prisme partiel par deux plans sécants con- 

 sécutifs correspond un prisme élémentaire du 

 solide circonscrit. Comparons deux de ces prismes 

 élémentaires correspondants HN, HZ. Ayant même 

 hauteur, ils sont proportionnels à leurs bases, c'est- 

 à-dire aux triangles rectangles M.N.N', MIZ'. 



Or, on a vu (n° XIII) que : 



tr. MNN ' _ MN 

 tr. .\1EÏ' ~ .\I.V ' 



donc aussi 



(1) 



élément du prisme 



MX 



rect. HN" 



élément du soUde cii'conscrit -\LV rect. HA' 



et aussi : 



(2) 



S éléments du prisme (ou prisme partiel) 

 il éléments du sol. cire, (ou solide circonscrit) 



^ rect. HN 'ou rect. HrAE) 

 ~ 1 rert. HA 



(cf. lemme IX). 



Pour le solide inscrit, la démonstration serait la 

 même, puisque les triangles et les rectangles sont 

 les mêmes deux à deux dans les deux séries. Tou- 

 tefois, il faut observer que, tandis qu'à chaque 

 élément du prisme partiel correspond un élément 

 prismatique du solide circonscrit, en ce qui con- 

 cerne le solide inscrit le premier élément de chaque 

 demi-cercle (prisme HN) n'a pas de correspondant 

 dans le solide, et de mêmepour les rectangles. On 

 devra donc écrire en toute rigueur : 



(3) 



(^ 



• 2^ él. prisme (1 — 2* rect. HN 



S él. solide inscrit 



Mais comme 



él. prisme 

 él. solide inscrit 



i; rect. M), 



re.t. HX 



et. M/,' 



on ne change pas l'exactitude de l'égalité (3) en 

 ajoutant au numérateur du premier membre deux 

 éléments prismatiques et à celui du second deux 

 rectangles HN, et l'on retombe alors sur l'éga- 

 lité (2). 



Ces préliminaires posés, supposons d'abord que 

 le sabot soit plus grand que 16 du prisme total, 

 c'est-à-dire que le prisme partiel soit moindre que 

 3/2 du sabot. Si petite que soit la différence, il en 

 résulterait que le prisme partiel est aussi moindre 

 que 3/2 du solide inscrit dans le sabot, car la dif- 

 férence de ce solide au sabot peut être rendue plus 

 petite que toute grandeur donnée. Or] le prisme 

 partiel est à ce solide inscrit (3°) comme le rec- 

 tangle HTAE est à la somme des rectangles élémen- 



