TH. REINACH — UN TRA.ITÉ DE GÉOMÉTRIE INÉDIT D'ARCIIIMÈDE 



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taires inscrits dans le segment parabolique. Si donc 

 l'hypothèse était vraie, on aurait : 



i-ect. HrAE 3 



i; rect. MA/.,M. 2" 



Mais on a vu (Théorème 1) que le rectangle IIFAE 

 vaut l'xactement les 3/-2 du segment de parabole, 

 lequel enveloppe la somme des rectangles MAX, M, : 

 il est donc impossible que ce rectangle vaille moins 

 que les 3/-2 de cette somme; [l'hypothèse est donc 

 fausse et le sabot ne saurait être plus grand que 

 1/6 du prisme total. 



Sujiposons maintenant que le sabot soit plus 

 petit que 1/6 du prisme total, c'est-à-dire que le 

 prisme partiel soit plus grand que 3/2 du sabot. Si 

 petite que soit la différence, on montrerait de même 

 qu'il en résulte (jue le prisme partiel est aussi plus 

 grand que 3/2 du solide enveloppant le sabot, i Mais 

 le prisme partiel est à ce solide enveloppant (3°) 

 comme le rectangle HFAE est à la somme des rec- 

 tangles élémentaires circonscrits au segment para- 

 bolique. On aurait donc : 



lect. HFAE ^ 

 i; lect. HXoAM-^i" 



Or (Théorème 1), le rectangle vaut exactement 

 les 3/2 du segment parabolique, qui est plus petit 

 que la somme des rectangles enveloppants; il ne 

 saurait donc valoir plus que les 3/2 de cette somme : 

 [donc l'hypothèse est fausse. 



Puisque le sabot ne saurait être ni plus grand ni 

 plus petit que le sixième du prisme total, il vaut 

 donc exactement le sixième de ce prisme. C. q. f. d.l. 



XV 



[Si Ton inscrit dons un cube deux cylindres ayant 

 chacun ses hases inscrites dans deux iaces oppo- 

 sées du cuhe et sa surface latérale tangente aux 

 quatre autres faces, le volume formé par Tinter- 

 section des deux cylindres équivaut aux deux 

 tiers du cuhe. 



Première démonstration {mécanique). 



Supposons (tig. 20) que nos deux cylindres aient 

 des axes horizontaux. Menons un plan vertical 

 perpendiculaire à l'un de ces axes (a) et passant par 

 le centre K du cube, et que ce soit le plan de la 

 tigurc. 11 coupera le cylindre (a) selon le cercle 



' La démonstration de ce ttiéorème (dont l'énoncé a été 

 donné dans le préanilnile) a péri en entier. Je l'ai restituée 

 d'après t'analogie des démonstrations précédentes et en 

 m'inspiranl des oljservations de Zeutlien, op. cit., p. 356, 

 suiv. Mais, comme il s'agissait ici d'un morceau entière- 

 ment perdu, j'ai cru pouvoir me réduire à l'essentiel, sans 

 chei-clier à reproduire le détait des raisonnements et des 

 calculs, toujours un peu longs, d'Arcliimède. 



ABFA, le cube et le cylindre (13) selon le carré <l>»I'iîX. 

 Prolongeons AB, AA jusqu'à leurs intersections E, 

 Z avec XQ et complétons le rectangle EZIl.V : ce 

 sera une section verticale d'un prisme rectangu- 

 laire, qui a même hauteur que le cube et pour 

 base un carré de côté double. Le triangle AEZ est 

 la section verticale d'une pyramide à base carrée, 

 ayant même base et même hauteur que ce prisme. 

 Prolongeons AF de A0 = AF et considérons F9 

 comme un levier ayant A pour milieu fixe. Menons 

 un i)lan Imrizontal MN : il coupe les deux cylindres 

 selon deux rectangles égaux, qui ont eux-mêmes 

 pour partie commune un carré de côté EO qui 

 coupe le cercle ABFA .selon la corde £0. Ce même 



Fig. 20. 



plan coupe le prisme selon un carré de coté MN, 

 la pyramide selon un carré de côté IIP. 

 Un a icf. le théorème II) : 



.\0 .\r Mï 



Mi;- 



Al ~ Ai; ~ ïn Mi;.i;u' 



Mais : 



MS.ini = rA..4.s = H' = lï' 4- Âî 



donc : 



Ei: -fiiii 



A0_ 



Ai;^=^ 



Ml" 



MN" 



carré MN 



El -h 111" E(t -1-np 



i-arré EO -|- carré IIP 



c'est-à-dire que le carré MN, restant en place, équi- 

 libre pïir rapport à A les carrés SO, HP transportés 

 en <■) comme centre de gravité. Cette proposition 

 reste vraie pour n'importe quelle position du 

 plan MN et, par conséquent, pour les sommes des 

 trois espèces de carrés interceptés par chacun de 

 ces plans. Donc, en totalisant, le prisme (somme 

 des carrés MN) restant en place équilibre la pyra- 

 mide (somme des carrés FIP) et le volume commua 

 aux deux cylindres (somme des carrés ZO) trans- 

 portés eu comme centre de gravité commun. Le 



