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TH. REINACU — UN TRAITÉ DE GÉOMÉTRIE INÉDIT D'ARCHIMÈDE 



lu'isine aynnl l'videmmenl pour cenire de gravité K, 

 un doil donc avoir : 



|irisnie 



e.v 



|iyr.uiiiilo -|- vuliiiiie cuuuniin K.V 

 La jiyraniidc vaut 1 .'î du iiri.sme, donc : 



d'où : 



■2 prismes , „ 

 prisme = — ^— (- 2 vol. comm. , 



vol. f omm. = - prisme ; 



et comme le prisme vaut quatre fois le cube : 



viil. comm. = ~ cube. C.i[.r. d. 



Deuxième démonstration {géométrique). 



Soit, comme précédemment, une section verticale. 

 Menons (fig. 21) le triangle <]>K*r : ce sera la section 



Fig. 21. 



verticale dune pyramide ayant son sommet en K et 

 pour liase un des carrés du cube. Un plan hori- 

 zontal AP coupera le cube selon un carré de côté AP, 

 la pyramide selon un carré de côté NO, le volume 

 commun selon un carré de côté Mil. On a : 



EK' + ïll' 



(Kir 



.0==)ËP'; 



et, comme -\\ = i.N, on a : 

 C'est-à-dire : 



carré (NO; -)- carré (MPI) = carré AP). 



Cette égalité étant vraie pour n'importe quelle 

 position de la parallèle AP, on a, en sommant : 



i; carrés NO -|- i; carrés MH = S carrés AP, 



c'est-à-dire : 



2 pyramides *K4-" -f volume commun = cube «P'FXU '. 



' Le passage de fégalité des surfaces des sections à l'éga- 

 lité des volumes est évidemment sans rigueur, mais inspii-é 



Et comme la pyramide est le 6'' du cube : 

 ■1 ■■> 



volume comm. = cube — - cube = f cube. C q. f. d. 

 6 3 



liemurque. 



Considérons toujours les deux cylindres horizon- 

 taux (fig. 22 et 23). On a vu (1" démonstration) 



I 



qu'une série de plans horizontaux les coupent 

 .selon deux rectangles qui ont pour partie commune 

 un carré. Ces carrés vont en croissant depuis le 

 point N I fig. 22) — auquel se réduit l'intersection des 

 génératrices dans le plan .\r — jusqu'au carré c^r,a 

 correspondant à la section médiane, puis en dimi- 

 nuant de nouveau jusqu'au point N', centre de la 

 base EZH0. Le solide commun' est formé par la 



l'ig. -i-i. 



superposition de tous ces carrés. Les sommets de 

 tous ces carrés, c'est-à-dire les arêtes du solide 

 commun, sont (fig. 22) dans les plans BA0Z et 

 AFHE. Ces deux plans décomposent le solide com- 



de raisonnements analogues d'Arcbimèilc. 11 serait, d'ail- 

 leurs, facile de donner au raisonnement plus de précision 

 en décomposant la pyramide et le solide en deux séries de 

 prismes carrés inscrits el circonscrits, dont leurs volumes 

 sont les limites respectives cf. la troisième démonstration 

 du théorème précédent!. 



' 11 a la forme dite en architecture « voûte d'arêtes » ou 

 n voûte de cloître ». 



