JULES TANNERY — DE L'INFINI MATHIÎMATIQUR 



1-20 



DE L'INFINI MATHÉMATIQUE' 



Lorsque h^s nialliématiciens se risquent sur le 

 terrain des pliilosopiies, il leur arrive quelquefois 

 <leiiial raisonner: dans son beaulivresur T» Infini 

 maUiémalique », M. Couturat, qui, d'ailleurs, n'y a 

 mis aucune malice, a donné quelques exemples de 

 ces mauvais raisonnements. 11 n'y a malheureuse- 

 ment aucune raison pour espérer que la publica- 

 tion du livre de M. Couturat empêche k l'avenir de 

 pareils accidents, dont je crains fort d'être bientiM 

 la victime. Heureusement, les mathématiciens qui 

 parlent mal à propos de Philosophie, et qui au- 

 raient le chagrin de s'en apercevoir, peuvent tou- 

 jours se consoler en imaginant quel(]ues philoso- 

 phes qui parleraient sur les Mathématiques, j'en- 

 tends des philosophes d'une autre espèce que 

 M. Couturat, puisque celui-ci a voulu apprendre 

 les choses avant d'en parler. C'est un bel exemple 

 qu'il a donné là et je louerais cet exemple comme 

 il faut, si je n'étais un peu gêné par l'intention que 

 j'ai de ne pas le suivre, et de discourir sur des 

 matières où je n'ai nulle compétence. 



I 



Outre que la notion de nombre est le fondement 

 essentiel des Mathématiques, Vin/ini intervient 

 d'une façon nécessaire dans cette notion. Il faut 

 donc, avant tout, la soumettre à une critique 

 sérieuse et l'étudier tout d'abord dans sa forme la 

 plus simple -. 



Il n'y a rien dont le mathématicien ail une plus 

 longue habitude, ni semble-t-il, une idée plus claire 

 que le nombre entier. Mais, se défaire des habi- 

 tudes, dissiper la clarté dont elles nous donnent 

 l'illusion et pénétrer jusqu'à l'obscurité où plongent 

 les fondements de nos connaissances, c'est le métier 

 des philosophes, qui n'ont pas manqué de trouver 

 des difficultés dans le nombre entier. Je me rap- 

 pelle encore la stupeur où me jeta M. Boutroux un 

 jour qu'il voulut bien me les faire toucher du doigt. 



La notion de nombre entier a deux faces, qui ré- 

 pondent aux deux épithètes « cardinal » et « ordi- 

 nal n ; quelle est celle qu'il faut considérer d'abord? 

 L'idée du nombre proprement dit est-elle anté- 

 rieure à celle de rang, ou est-ce l'inverse? C'est, 

 d'ordinaire, la notion de nombre cardinal que l'on 

 regarde comme primitive, et M. Couturat se range 



' De l'Infini malhématique, par Louis Cuxilurat. Paris, 

 F. Alcan, IS'Jti. Cet ouvrage a été présenté comme thèse 

 pour le Joctorat à la Faculté des Lettres de Paris. 



• Il convient de signaler sur ce sujet la très intéressante 

 Philosophie des Arilhmelik. de M. Husserl. 



à cette doctrine traditionnelle. Pour lui, le nombre 

 est une « collection d'unités » et l'idée de nombre, 

 comme celle d'unité, i)réexiste d'ailleurs à toute 

 définition. Ce ne sont point des unités qui nous 

 sont données par l'expérience, mais bien des 

 objets; c'est notre pensée qui leur confère l'unité. 

 On peut, sans doute, compter des objets qui sont 

 fort différents; mais, en le faisant, on ne pense pas 

 à leurs différences, à rien de ce qui les distingue, 

 si ce n'est qu'ils sont distincts et que chacun d'eux 

 est une unité. L'idée d'unité réapparaît dans l'idée 

 de colleclion, qui, elle aussi, est un tout distinct de 

 ce qui n'est pas elle; à la collection notre pensée 

 confère aussi l'unité, qui ainsi « est impliquée 

 deux fois dans l'idée de nombre, comme élément 

 et comme lien ». — « Dès que, faisant abstraction 

 de la nature particulière des objets donnés et des 

 qualités propres qui les distinguent, on considère 

 chacun d'eux comme m», c'est-à-dire qu'on le ré- 

 duit à une unité, et qu'on embrasse toutes ces uni- 

 tés abstraites dans un même acte de pensée, on a 

 l'idée du nombre entier. » On ne saurait mieux 

 éclairer par des mots ce qu'est l'idée d'un nombre 

 cardinal, ni mieux faire apercevoir en même temps 

 les difficultés qu'elle comporte. De ce point de vue, 

 la question de l'invariance du nombre entier ne se 

 pose pas, puisque, dans la définition du nombre, 

 l'ordre des unités n'intervient pas plus que n'im- 

 porte quelle autre distinction entre les unités. 

 Mais il faut avouer que, si l'on a supprimé cette 

 question, c'est à la condition de laisser subsister 

 une sorte d'antinomie dans le nombre, dont les 

 unités sont à la fois indistinctes et susceptibles 

 d'être distinguées. 



En parlant de « collection d'unités » M. Couturat 

 n'a rien dit pour exprimer que cette collection était 

 finie. Il y a là une difficulté ' réelle. L'idée de « fini » 

 est-elle impliquée dans celle de collection et ne 

 peut-on « embrasser dans un seul acte de pensée » 

 une infinité d'objets? Il est difficile de dire ce 

 qu'est l'infini, peut-être aussi est-il difficile de 

 dire ce qu'est le fini. N'y a-t-il d'autre réponse que 

 celle de M. G. Cantor : « Toute collection est finie, 

 qui ne peut être équivalente à l'une de ses par- 

 ties »? Et si c'est là la seule réponse, n'ost-il pas 

 bien digne de remarque que ce soit le fini qu'il 

 faille caractériser par une propriété négative? 



Revenons à la définition du nombre cardinal 

 qu'a donnée M. Couturat et qui résume une très 

 belle critique des définitions qu'il a empruntées 



' Je dois celte observation à mon frère, M. Paul Tannery. 



