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JULES TAXNERY — DE L'INFINI MATHÉMATIQUE 



aux meilleurs niailres. Je regrelle que, restant à 

 son point de vue, il n'ait pas parlé plus longue- 

 ment de l'égalité et de l'inégalité d'une part, du 

 dénombrement de l'autre. 11 semble dire que cela 

 regarde les malhémaliciens, mais il a fait lui- 

 même trop de Mathématiques dans sa thèse, pour 

 qu'il soit défendu de lui demander de nous éclairer 

 un peu sur ces points, dont il a bien parlé, mais sur- 

 tout pour critiquer ce que disent les autres. Dans 

 le chapitre où il a exposé sa propre pensée, il s'en- 

 ferme dans l'idée d'un nombre cardinal; encore 

 faut-il pouvoir comparer deux nombres cardinaux, 

 et analyser comment on parvient à la connaissance 

 explicite du nombre cardinal d'une collection 

 donnée. 



En parlant de la définition, d'après M. Stolz', de 

 de l'égalité de deux « pluralités " par la corres- 

 pondance un par un de leurs éléments, il s'exprime 

 ainsi : " Deux ensembles ainsi coordonnés ne sont 

 pas seulement égaux ou équivalents, ils sont iden- 

 liques ; en tant que pluralités d'unités, ils sont le 

 même nombre. » Cette façon de parler me semble 

 parfaitement cohérente avec la délinilion précé- 

 dente: Alors, il n'y a pas à parler de nombres 

 égaux, il n'y a qu'un nombre de chaque espèce : 

 il n'y a pas de nombre égal à trois, il y a trois. 

 Encore faudrait-il dire ce que c'est que deux nom- 

 bres différents, en quoi ils diffèrent, ce qui carac- 

 térise le plus grand et le plus petit. N'en avons- 

 nous idée que par la coordination des éléments de 

 l'un à une partie des éléments de l'autre? On 

 n'aura pas d'autre ressource que cette coordination 

 lorsqu'il s'agira, plus tard, de définir celte puis- 

 sance d'un nombre infini; mais il faut observer dès 

 !i présent qu'on ne peut coordonner les unités 

 d'une collection aux unités d'une autre collection 

 sans les distinguer entre elles d'une façon plus 

 précise que ne semble le permettre la définition 

 du nombre cardinal. Peut-être, la pensée de 

 M. Couturat est celle-ci : La définition de l'ad- 

 dition, conçue comme la réunion de deux collec- 

 tions, se rattache immédiatement à la définition 

 du nombre cardinal, qui peut ainsi être regardé 

 comme la somme de ses unités : dès lors les 

 nombres un, deux, trois, quatre..., se forment. 

 Sauf le premier, qui n'est que l'idée de l'unité 

 toute seule, par l'addition d'une unité à celui qui 

 précède : la suite naturelle des nombres est cons- 

 tituée, tous les nombres de cette suite sont diffé- 

 rents, et chaque nombre est plus grand que celui 

 d'où il a été déduit par l'additiiui <rune ou de 

 plusieurs unités. 



La notion de suite naturelle une fois acquise, on 



' VorlesuTKjen iiber atlgemeine Arithmelik. C'est un livre 

 fort intcres.sant auquel M. Couturat a rendu, en passant, un 

 juste hommage. 



peut se demander si ce n'est pas le fait d'appar- 

 tenir à celte suite qui caractérise le nombre fini? 

 lieste la question de savoir si l'on peut atteindre 

 ainsi, par des adjonctions successives d'unités, 

 n'importe quelle collection donnée, finie au sens 

 vulgaire et vague du mot, ou au sens négatif 

 précisé par Cantor. Est-ce cette question qu'avait 

 en vue M. Couturat lorsqu'il a écrit cette note : 

 « Hien ne permet d'affirmer que, par ce procédé, 

 on obtient toutes les collections possibles d'uni- 

 tés »? S'il range les collections infinies dans les 

 collections possibles, c'est la difticullé que je signa- 

 lais un peu plus haut; si, par « collections pos- 

 sibles », il entend les collections finies possibles, 

 c'est la question même que je viens de poser. Per- 

 sonne, à ce que je crois, n'hésiterait sur la réponse 

 à faire; mais, pour donner à cette réponse une 

 valeur démonstrative, je ne vois pas d'autre moyen 

 que d'invoquer la définition du fini telle que l'a 

 donnée M. Cantor, et d'établir que toute collection 

 qui ne sera pas atteinte par cette addition succes- 

 sive d'unités au moyen de laquelle se forment les 

 termes de la suite naturelle, est forcément équi- 

 valente à quelqu'une de ses parties. 



M. Couturat rattache à la suite naturelle l'idée 

 de rang : reste à savoir si la définition qu'il donne 

 ainsi du rang est une « définition de mot ou une 

 définition d'idée »: si l'idée de succession n'inter- 

 vient pas dans la formation même de cette suite; 

 si le mot suite lui-même n'implique pas cette idée, 

 ainsi que les additions successives d'unités, et si 

 cette idée n'est pas moins que celle de nombre 

 cardinal une forme nécessaire de notre pensée. 

 Est-il certain qu'une de ces formes doive être 

 regardée comme antérieure, et l'autre comme 

 dérivée? On comprend assez que je n'aie pas la 

 prétention de répondre à cette question, non plus 

 qu'à colles qui se l'apportent au rôle de l'idée de 

 temps dans la formation de l'idée de nombre. 



II 



J'arrive au dénombrement, que M. Couturat a eu 

 raison de soigneusement distinguer du nombre. 

 Le dénombrement d'une collection donnée n'est 

 qu'une opération contingente par laquelle nous 

 arrivons à la connaissance effective du nombre de 

 cette collection, que notre vue ne nous permet pas 

 d'embrasser d'un seul coup d'œil, et dont nous 

 comptons successivement les éléments. Cette fois, 

 il n'y a pas de doute : pour faire l'opération, il faut 

 du temps. On compte d'abord un élément, puis un 

 autre encore... Pour cela, il est nécessaire de dis- 

 tinguer effectivement les éléments et, s'ils n'étaient 

 pas suffisamment distincts, de leur attribuer des 

 marques différentes; on les range dans un ordre 



