JULES TANNERY — DE L INFINI MATHÉMA.TIQUE 



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détermina, et l'on rétablit ainsi momentanément 

 ces différences entre les unités qui s'effacent dans 

 le nombre ; elles s'efifacent au fur et mesure de 

 l'opération, pour les objets que Ton a comptés, qui 

 sont à chaque instant réunis dans un acte synthé- 

 tique de mémoire et nettement séparés de ce qui 

 n'est pas eux, des objets que l'on n'a pas encore 

 comptés ; à la fin de l'opération, toute la collection 

 est embrassée dans un acte, il ne reste plus dans 

 l'esprit que le souvenir des unités de la collection, 

 réunies dans un nombre; ce souvenir des distinc- 

 tions qui existaient où que l'on a créées entre les 

 objets, et en particulier de l'ordre dans lequel on 

 les a comptés, s'est évanoui et, avec lui, s'évanouit 

 la question de savoir si l'on serait arrivé au même 

 nombre en comptant dans un autre ordre : la seule 

 question est de savoir si l'on a compté tous les 

 objets et chacun pour une unité. 



S'il en est ainsi, la démonstration de {'invariance 

 du nombre, qu'a donnée von Helmholtz, n'apparaît 

 plus que comme une vérification '; il semble bien, 

 en effet, comme l'a remarqué M. Couturatdans des 

 pages qui sont parmi les meilleures et les plus 

 fortes de son livre, que, pour donner à cette preuve 

 toute sa solidité, il faut y introduire cette idée 

 des « unités permanentes » qui est la base même 

 du nombre cardinal, et von Helmholtz parait l'avoir 

 reconnu lui-même quand il écrit : « Les objets nom- 

 bres ne doivent pas, pendant qu'on les compte, 

 disparaître, se fondre les uns dans les autres, ou se 

 diviser... » 



L'effort du grand savant, pour fonder sur le 

 nombre ordinal, sur la seule idée de rang, l'Arithmé- 

 tique et par suite l'.Vnalyse entière, n'en reste pas 

 moins très beau. On dira, si l'on veut, que la science 

 que l'on construit ainsi est toute vide et formelle : 

 cela n'est pas pour détourner ni étonner quelques 

 esprits, qui trouvent leur principal sujet d'étonne- 

 ment dans le fait que les Mathématiques s'appli- 

 quent à quelque chose. Au reste, cette préférence 

 pour le nombre ordinal n'est pas particulière à 

 von Helmholtz et l'on sait assez qu'elle était par- 

 tagée par Kronecker. A ce dernier, M. Couturat 

 reproche d'être moins bon philosophe que von 

 Helmholtz : le reproche peut être juste sans être 

 blessant; mais Kronecker avait assurément des 

 parties de l'esprit philosophique, et à un rare 

 degré la puissance de concevoir un système et d'en 

 poursuivre ta réalisation ^ 



• On sait quelle ronsiste essentiellement à admettre que 

 le nombre ne chan^'e pas quand on change l'ordre de deux 

 objets de la collection. 



* A propos de Kronecker, je voudrais indiquer quelques 

 réserves sur une note où M. Couturat expose les idées de 

 l'illustre algébriste sur les nombres fractionnaires, négatifs, 

 imaginaires, algébriques... Le système de Kronecker consiste 

 à substituer, partout où il en a besoin, des congruonces aux 



Quoi qu'il en soit, et quelque conception qu'on 

 ee fasse du nombre entier, cette conception im- 

 plique déjà l'idée de l'infini et cela d'une façon 

 nécessaire : chaque nombre entier est suivi d'un 

 autre nombre entier, et le mot suivi n'est employé 

 là que faute d'un autre : en même temps que je 

 pense le nombre n je ne puis m'empècher de 

 penser le nombre n-f- 1. Le nombre n, détermine 

 le nombre «-|-1, et ce dernier existe dans ma 

 pensée au même titre que le nombre n. La loi de 

 formation des nombres entiers, le passage d'un 

 nombre au suivant, enveloppe d'un seul coup tous 

 les nombres entiers. Sans doute, je ne puis avoir 

 qu'une image confuse de la suite des nombres 

 entiers, une image qui se brouille ; dès que les 

 nombres s'éloignent un peu, jai une idée claire de 

 cette suite dans sa loi ; je n'imagine 'pas les nom- 

 bres entiers dans leur suite infinie, je les com- 

 prends dans leur loi de forinalion. 



Quant à la discussion sur 1' « existence » ou la 

 « non-existence » de l'infinité des nombres entiers, 

 j'avoue que je la saisis mal. C'est le sens du mot 

 exister qui n'est pas clair. A coup sûr, si quelqu'un 

 dit qu'il « existe » une infinité de nombres entiers, 

 il n'entend point que cette infinité de nombres 

 entiers est écrite quelque part, dans quelque gros 

 livre; il ne s'agit que d'une « existence » dans 

 notre pensée ; or, notre façon de penser l'infinité 

 des nombres entiers consiste essentiellement à 

 penser la loi de formation de ces nombres, qui en 

 implique l'infinité. Je ne comprends guère non 

 plus les distinctions où l'on se fatigue sur l'infini 

 et l'indéfini; je me borne à observer, à propos de 

 ces distinctions, que la loi de formation des nom- 

 bres entiers a un caractère essentiellement positif et 

 affirmatif: elle affirme le nombre n-f-1 au même 

 titre que le nombre n, et il me semble qu'il n'y a 

 rien d' >■ indéfini » dans une telle affirmation. 



III 



Ainsi, la première fois que la notion de l'infini se 

 présente dans les Mathématiques pures, c'est sous 

 forme d'une loi qu'elle apparaît ; est-ce sous cette 

 même forme qu'elle se présentera toujours ? J'es- 



égalités. Ces congruences doivent rester des congruences et 

 ne pas être transformées en égalités, et c'est en congruences 

 que s'expriment les théorèmes d'algèbre. Le passage de 

 Kronecker, que cite M. Couturat, où il est question d'une 

 congruence qui se transforme en égalité quand on annule le 

 module, me parait simplement destiné à expliquer comment 

 on pourra traduire son lang.ige en énoncés ordinaires; mais 

 ce langage est parfaitement cohérent : le module ne doit pas 

 être annulé. Il y a quelque excès à taxer » de vanité ■> l'in- 

 troduction des congruences, puisque les congruences sont 

 utiles eu elles-mêmes, sinon partout nécessaires : et il est 

 inexact de dire qu' « on a subrepticement introduit dans les 

 formules les notions qu'on voulait éviter comme absurdes. » 



