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JULES TANNERY — DE L'INFINI MATHÉMATIQUE 



lime que oui, si toutefois on donne une extension 

 suffisante au mot « loi », et si l'on entend qu'il 

 peut signifier ce qui n'est pas exprimable par une 

 formule. Il y a là quelque chose d'assez difficile à 

 expliquer, et que, pour ma part, je n'ai bien com- 

 pris que grâce à un de mes anciens élèves, M.Jules 

 Dracli, dont le sens philosophique est très péné- 

 trant '. 



Une loi qui n'est pas formulée, et qui ne peutpas 

 être formulée, cela est bien contraire aux habi- 

 tudes de notre langage, et le mot « dclerminalion » 

 serait peut-être préférable, mais les mots n'im- 

 portent guère, pourvu qu'ils ne trompent pas. 

 Restons dans le domaine des nombres entiers. La 

 loi déformation de ces nombres indique nettement, 

 en quelques mots, dans quel ordre ils sont rangés 

 dans la suite naturelle 1, 2, 3,...: Après le nom- 

 bre n vient le nombre n-f-1. Le mathématicien 

 aura souvent besoin de considérer d'autres suites, 

 infinies comme la suite naturelle, mais dans les- 

 quelles les nombres entiers, ou seulement quel- 

 ques-uns de ces nombres entiers, seront rangés 

 dans un autre ordre déterminé. Pour prendre un 

 exemple, qui est d'un usage continuel, considérons 

 d'une part la suite naturelle, d'autre part, les dix 

 nombres (ou chiffres) 0, 1, 2, 3, 4, S, 6, 7, 8, 9. Je 

 puis imaginer qu'à chaque nombre entier ?î cor- 

 responde un chiffre déterminé, que je désignerai 

 par (p [n). Je définirai une suite intinie : 



parfaiiement déterminée, et l'idée de cette suite ne 

 contient rien de plus, au point de vue philoso- 

 phique, que l'idée de la suite naturelle des nombres 

 entiers, si ce n'est toutefois l'idée de correspon- 

 dcmce, sur laquelle il convient d'insister un peu. 

 Le mot de correspondance est, comme on sait, 

 d'un usage continuel en Mathématiques: il signifie 

 la pensée simultanée de deux objets distincts: 

 quand je pense l'un de ces objets, je pense l'autre ; 

 la pensée d'un objet éveille la pensée de l'autre. Ici 

 quand je pense le nombre h, je pense, en même 

 temps, le chiffre <f [n). Cette notion est très claire, 

 si je me donne la « formule delà correspondance », 

 le moyen, lorsque je connais le nombre n, de 

 choisir, .sans me tromper, celui des chiffres 0, 1, 2, 

 ...,9 qui est <p {n). Toutes les fois que la correspon- 

 dance entre n et tp (w) sera ainsi formulée, l'idée 

 de la suite infinie 



<I>(1), 9 (-2), ..., :f,(n), ... 



sera tout aussi claire que celle de la suite natu- 

 relle!, 2, ..., n,... Sera-t-il légitime déparier d'une 

 pareille suite, en disant seulement que la correspon- 



• Cette attribution s'applique naturellement aux idées 

 analogues que j'essaie trexpriiuer un peu plus luin sur les 

 nsiiiibles inlinis. 



dance entre n et cp (n) est déterminée, sans rien spé- 

 cifier sur la nature de cette détermination'? 11 semble 

 tout d'abord qu'il n'y ait aucune difficulté et qu'on 

 entende seulement parler d'une suite, pour laquelle 

 la « formule » de la correspondance est quelconque. 

 Un raisonnement sur la suite considérée qui ne 

 dépend pas de cette fornmle sera valable, quelle 

 que soit cette formule : il sera toujours valable. 

 Cette conclusion est trop rapide : elle suppose, en 

 effet, que la foixnule existe, que la correspondance 

 puisse être formulée. Or, cette possibilité n'est nul- 

 lement impliquée dans le fait que la correspondance 

 est déterminée. Je puis penser la correspondance 

 comme étant déterminée, et comme ne pouvant pas 

 être décrite. C'est précisément l'infinité des nombres 

 entiers qui oblige à faire cette distinction: si, au 

 lieu de considérer l'infinité des nombres entiers, je 

 me bornais à considérer un million de ces nombres, 

 si n ne pouvait être, par exemple, que l'un des nom- 

 bres 1, 2,3, ..., 1.000.000, il est clair que toute cor- 

 respondance entre »et tp (n) pourra êtrerfec?'!7e : Si 

 l'on considère, en effet, une telle correspondance, 

 il suffira d'écrire, les uns à la suite des autres, les 

 nombres 1, 2, 3, ..., 1.000.000, et, au-dessous de 

 chacun de ces nombres le chiffre cp (h) qui lui 

 correspond : le tableau ainsi formé sera, si l'on 

 veut, la formule de la correspondance, car il 

 n'importe nullement que cette formule soit simple 

 ou compliquée : la loi de la correspondance ne 

 sera alors que la description d'un fait, descrip- 

 tion qui ne comporte aucune abréviation, aucune 

 règle ou formule analytique qui permette d'em- 

 brasser plusieurs cas en un seul ; pour connaître la 

 correspondance, il faudra faire un million d'expé- 

 riences, regarder quel chiffre est placé au-dessous 

 de chacun des nombre 1, 2, ..., 1.01)0.000. Sans 

 doute, après avoir fait ce million d'expériences, 

 l'algébriste pourra, par la théorie de l'interpolation, 

 établir une formule unique qui exprimera explici- 

 tement tp (n) au moyen de w, mais cette formule ne 

 sera rien de plus que le tableau précédent, elle le 

 suppose (et le résume) tout entier; si l'on admet 

 que le nombre n prenne une valeur de plus, et 

 que, à cette nouvelle valeur, corresponde encore 

 un des chiffres 0, 1, .... 9, il faudra peut-être chan- 

 ger la formule, pour exprimer cette nouvelle cor- 

 respondance, puis la changer encore si l'on consi- 

 dère un nombre de plus et le chiffre correspondant. 

 Nous ne pouvons évidemment réaliser ni le tableau, 

 ni la formule d'interpolation correspondante, ni 

 aucune règle analogue, pour fous les nombres 

 entiers, et cependant nous concevons nettement la 

 détermination de tp [n] indépendamment de toute 

 règle explicite qui formule, qui spécifie celle déter- 

 mination. Et, en fait, certains raisonnements que 

 font les mathématiciens sur une suite infinie telle 



