JULES TANNERY — DE L'INFINI MATHÉMATIQUE 



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que la suite (a) suppose seulement celle délermi- 

 nation, nuUcmenl que celte délei-minalion soit 

 spécifiée. Je puis, par exemple, aflirnier que, daus 

 la suile considérée, l'un au moins des cliifTres 

 (), I, 2, ..., î) se trouvera répété une infinité de fois, 

 c'est-à-dire que, quel que soit le nombre entier a 

 que l'on me cite,. j'en citerai un plus grand a-\'i,et 

 j'affirmerai que ledit cliilïro est répété (^i -|- 1 fois 

 dans la suite. 



Quelques mathématiciens s'interdisent d'envisa- 

 ger de pareilles suites; ils ne veulent considérer, 

 pour ainsi dire, que cet infini qui tient dans une 

 formule explicite, ou dtins une formule qui peut 

 être conçue comme explicite. A la vérité, celte 

 restriction est légitime, si on veut limiter les recher- 

 ches à certaines catégories de nombres, dont la 

 génération puisse être toujours formulée. Mais il 

 est hors de doute qu'il soit nécessaire d'admettre, 

 dans les spéculations mathématiques, de ces déter- 

 minations impossibles à formuler, si l'on veut 

 embrasser dans toute sa généralité l'idée de nom- 

 bre, de ce nombre qui, suivant la forte expression 

 de Descartes, heureusement rappelée par M. Cou- 

 lurat, imite l'étendue. Je n'y vois d'ailleurs aucun 

 empêchement: l'idée de détermination., toute pure, 

 indépendamment d'une formule qui l'exprime, est 

 claire en elle-même, et je demande au lecteur la 

 permission de continuer à la désigner, à l'occasion, 

 par le mot loi', sans m'inquiéler de savoir si cette 

 détermination, qui se poursuit à l'infini, implique 

 la « réalité » actuelle ou non de l'infini. 



IV 



S'il s'agit toujours, comme dansle livre de M. Cou- 

 lural, d'une « réalité » dans notre pensée, je 

 répéterai ce que j'ai déjà dit à, propos de l'exis- 

 tence, que le sens du mol est passablement obscur, 

 qu'on peut bien se dispenser de l'écrire, et qu'il 

 suffit au mathématicien de fixer sa pensée sur 

 Vidée de loi, qui est claire. C'est la loi qui est 

 réelle. Mais si le lecteur n'est pas un idéaliste 

 intransigeant, et si les mots ci réalité extérieure » 

 ont un sens pour lui, il me permettra de dire qu'il 

 n y a, à ce que je crois, aucune contradiction entre 

 ces mots « réalité » et » infini ». C'est une question 

 qui a un sens que celle-ci : « Y a-l-il un nombre 

 Uni ou infini d'étoiles? ■> Sans doute il est impos- 

 sible de répondre expérimentalement a cette ques- 

 tion, et il est bien certain que nous ne compte- 

 rons jamais qu'un nombre fini d'étoiles; mais il est 

 tout aussi impossible de répondre à celte question 

 par des raisonnements logiques: de deux choses 

 l'une, ou il y a un nombre déterminé d'étoiles, un 



' A la soutename de la thèse de M. Coutûrat, M. Bou- 

 troux a l'ait tiès fortement ressortir ce fait que l'idée de toi 

 est ce qu'il y a d'essentiel dans l'infini mathématique. 



nombre que je pourrais écrire en chiffres, si je le 

 connaissais, ou il n'en est pas ainsi; aucun rais(m- 

 nement logique, pas plus qu'aucune expérience, ne 

 permettra de décider laquelle des deux affirmations 

 est vraie; si c'était la seconde qui filt vraie, je 

 pourrais affirmer ceci: quel que soil le nombre 

 entier a que vous me citerez, je puis affirmer qu'il 

 y a « -|- 1 étoiles; cette affirmation qui, encore une 

 fois, a un sens, a la même signification que celle-ci : 

 il y a une infinité d'étoiles. 



Si je me suis laissé aller à cette digression qui 

 n'a rien à faire avec les Mathématiques, c'est 

 qu'elle me fournil un semblant d'exemple qui, tout 

 saugrenu qu'il est, contribuera peut-être à suggé- 

 rer l'idée de ce que j'ai voulu dire en parlant de 

 déterminations qui ne peuvent être formulées. 



Admettons qu'il y ait une infinité d'étoiles, que 

 la dislance entre deux étoiles quelconques soit 

 supérieure à un million de kilomètres, par exem- 

 ple, qu'il n'y ait pas deux étoiles qui soient à la 

 même dislance de la Terre et enfin que, sur cha- 

 que étoile, soit inscrit l'un des chiffres 0, 1,2, ...,9, 

 sans qu'on sache rien de plus que ceci : sur chaque 

 étoile il y a un de ces numéros, et un seul; on 

 ignore, d'ailleurs, entièrement quel numéro il y a 

 sur telle ou telle étoile. Des suppositions qui ont 

 été faites, il résulte qu'on peut faire correspondre 

 chaque étoile à un des nombres de la suite natu- 

 relle, la première étant la plus rapprochée de la 

 Terre, la seconde étant la plus rapprochée après 

 celle-là, etc. Il est clair qu'à chaque étoile corres- 

 pond un nombre entier, car une étoile est à un 

 nombre déterminé N de kilomètres de la Terre et 

 dans une sphère dont le centre est sur la Terre et 

 dont le rayon est de N kilomètres, il ne peut 

 y avoir qu'un nombre fini d'étoiles, distantes entre 

 elles d'au moins un million de kilomètres. Si le 

 lecteur tenait à avoir une limite supérieure de ce 

 nombre, je le renverrais à la Géométrie der Zahlen 

 de M. Minkowski. Si un « iufiniste » résolu venait 

 se mettre à la traverse et me dire qu'il y a peut- 

 être des étoiles qui sont à une distance infinie de 

 la Terre, je le prierais de laisser de côté ces étoiles- 

 là, et de me permettre de terminer mon raisonne- 

 ment. Chaque étoile correspond donc à un nombre 

 entier déterminé; inversement, à chaque nombre 

 entier correspond une étoile déterminée: par 

 exemple, il y a bien une étoile qui est la millième, 

 sans quoi, il n'y aurait pas mille étoiles en tout. 

 Ceci posé, à chaque nombre entier «je fais cor- 

 respondre celui des chiffres qui est inscrit sur 

 la n""" étoile. La correspondance est déterminée, 

 et il est impossible, sans aller visiter chaque étoile 

 l'une après l'autre, et sans être allé dans la der- 

 nière, (jui n'existe pas, d'exprimer cette correspon- 

 dance par aucune formule. 



