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JULES TANNERY — DE L'INFINI MATHÉMATIQUE 



Je demande pardon de cette fantaisie, dont le 

 réalisme grossier aura peut-être clioqué le lecteur 

 à jeun; il ne faut la prendre que comme une image 

 destinée à suggérer une idée à laquelle on n'est 

 pas très habitué : celle d'une détermination qui se 

 poursuit à l'infini et qui ne peut être formulée. 

 Quant à donner un exemple positif d'une telle 

 détermination, cela est manifestement contradic- 

 toire dans les termes, et si un exemple est impossi- 

 ble à trouver, on m'excusera d'être allé le chercher 

 un peu loin. Je reviens aux Mathématiques. 



L'infinité des nombres entiers, conçue dans le 

 mode unique de génération de ces nombres, appa- 

 raît comme un tout: rien n'empêche d'isoler par 

 la pensée une partie de ce tout, de considérer cer- 

 tains nombres entiers, à l'exclusion de tous les 

 autres. On peut, tout d'abord, considérer quelques- 

 uns de ces nombres entiers, en nombre fini, que 

 l'on désigne nominativement, les cent premiers 

 nombres, par exemple, de la suite naturelle, ou 

 tels autres que l'on voudra, qu'on supposera écrits 

 dans un tableau: on a ainsi un « ensemble » fini 

 de nombres entiers ; d'un tel ensemble on peut 

 affirmer ceci : quel que soit le nombre entier que 

 l'on cite, ou bien il fait partie de l'ensemble consi- 

 déré, ou il n'en fait pas partie : pour le savoir, il 

 suffira de regarder le tableau et de voir si, oui ou 

 non, le nombre que l'on a cité y figure. 



On peut aussi bien isoler, par la pensée, de l'in- 

 finité des nombres entiers, une infinité de nombres 

 qui jouissent d'une propriété commune et exclu- 

 sive, qui constituent, en quelque sorte, une espèce 

 particulière de nombres entiers; par exemple, 

 l'ensemble des nombres pairs, ou l'ensemble des 

 nombres premiers; étant donné un nombre entier 

 quelconque, on a des règles sûres pour décider s'il 

 est pair ou non, s'il est premier ou non; il est 

 inutile de nmltiplier les exemples de cette sorte. 

 Des nombres entiers, en nombre fini ou infini, 

 seront dits appartenir à un ensemble déterminé (E) 

 si l'on peut affirmer d'un nombre entier quelconque 

 qu'il est ou qu'il n'est pas l'un de ces nombres. 

 Dans les exemples que j'ai cités, on donnait le 

 moyen de reconnaître, sur un nombre entier quel- 

 conque, s'il faisait, ou non, partie de l'ensemble : 

 les nombres de l'espèce considérée étaient carac- 

 térisés par une propriété commune et exclusive ; 

 cette propriété qui les reliait, qui en faisait un 

 tout, isolé dans le tout des nombres entiers, était 

 formulée en termes explicites. Il n'y a rien, dans 

 la considération de pareils ensembles, qui ne soit 

 très familier à tous ceux qui ont commencé l'étude 

 des Mathématiques, rien autre chose que la con- 



statation de ce fait banal : il y a des caractères qui 

 ^'appliquent à une infinité de nombres entiers et 

 qui ne s'appliquent pas aux autres, et l'on sait 

 fort bien que ces caractères peuvent impliquer 

 des propriétés de ces nombres, qui soient de vraies 

 M propriétés », en ce sens qu'elles leur appar- 

 tiennent « en propre », qu'elles n'appartiennent 

 point à d'autres. Si j'énonce, par exemple, ce 

 théorème : « Pour qu'un nombre premier impair 

 soit la somme de deux carrés, il faut et il suffit 

 qu'en le divisant par -i, le reste soit égal à 1 », 

 je spécifie un ensemble déterminé, l'ensemble des 

 nombres premiers qui sont de la forme 4«-(-i, 

 et en même temps j'énonce une autre propriété 

 qui pourrait aussi bien caractériser cet ensemble ; 

 je ne ferais que répéter dans un autre langage le 

 précédent théorème si je disais : L'ensemble des 

 nombres premiers qui sont de la forme -in -j- 1 est 

 identique à l'ensemble des nombres premiers qui 

 sont la somme de deux carrés, c'est-à-dire que 

 tout nombre qui fait partie du premier ensemble 

 fait aussi partie du second, que tout nombre qui 

 fait partie du second ensemble fait aussi partie du 

 premier. Mais il importe d'observer que l'idée de 

 détermination est indépendante de la possibilité 

 de formuler en quoi consiste celte détermination. 

 Il n'est pas nécessaire, pour qu'un ensemble soit 

 déterminé, que l'on puisse effectivement recon- 

 naître sur un nombre donné qu'il appartient ou 

 qu'il n'appartient pas à cet ensemble, il suffit 

 qu'on sache qu'il lui appartient ou qu'il ne lui 

 appartient pas, et tout raisonnement reposant sur 

 ce qu'on n'a le choix qu'entre ces deux supposi- 

 tions sera valable. Il n'est pas nécessaire que la 

 propriété commune qui caractérise les nombres 

 d'un ensemble puisse être formulée en termes 

 explicites : cette propriété consistera, si l'on veut, 

 à faire partie de l'ensemble et, si elle est réduite à 

 ce degré d'abstraction, elle ne pourra être décrite 

 explicitement que si l'ensemble est fini : sa des- 

 cription est alors le tableau même des nombres 

 qui constituent l'ensemble. Pour qu'il y ait en- 

 semble, espèce, si l'on veut, il faut qu'il y ait 

 séparation, il n'est pas nécessaire qu'on puisse 

 dire en quoi consiste cette séparation : l'idée de 

 l'espèce n'implique pas qu'on puisse énumérer les 

 caractères qui spécifient les individus qui consti- 

 tuent l'espèce. 



Les mêmes mathématiciens qui se refusaient à 

 spéculer sur des correspondances qui s'étendent 

 indéfiniment sans qu'on puisse les formuler expli- 

 citement, se refuseront à spéculer sur des en- 

 sembles qui ne sont pas définis par une propriété 

 formulée explicitement et cette timidité ne les em- 

 pêchera pas, à coup sûv, de découvrir des propriétés 

 communes à tous les éléments de ces ensembles, 



