JULES TANNERY — DK L IM INI MATHfiMATTQUE 



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c'i'st-à-dirt> des théorèmes généraux, et, en par- 

 ticulier, des propriétés caractéristiques de ces 

 ensembles, c'est-à-dire de ces théorèmes dont 

 l'énoncé est parfait, en ce sens qu'il contient les 

 conditions nécessaires et suffisantes pour que la 

 propriété qu'il exprime soit vraie ; c'est là, diront- 

 ils sans doute, l'objet propre du mathématicien, et, 

 à coup sur. le champ qu'ils limitent ainsi est assez 

 vaste pour que la science s'y développe à l'aise. 

 Mais, au point de vue logique, celle limitation n'est 

 pas nécessaire, et les recherches de M. Cf. Cantor 

 ont mis hors de doute que l'on pouvait atteindre 

 des résultats considérables en s'en affranchissant. 



VI 



J'ai essayé de dégager, à propos des nombres 

 entiers, ce qu'il y a d'essentiel au point de vue 

 philosophique dans les deux notions (la suite infi- 

 nie et l'ensemble infini) qui interviennent d'habi- 

 tude dans les raisonnements mathématiques sur 

 l'infini : c'est, dans les deux cas, l'idée d'une 

 certaine détermination qui s'étend à une infinité 

 d'éléments. C'est cette détermination, formulée, 

 ou simplement supposée, qui est le nerf du raison- 

 nement mathématique : celui qui voudra nier la 

 conséquence de ce raisonnement devra ou bien 

 nier la détermination, ou bien soutenir qu'elle 

 s'applique seulement à un nombre limité de cas. 

 L'infini dont le mathématicien parle, n'a rien de 

 commun avec cette image confuse, vile perdue 

 dans le brouillard, puis dans la nuit, qui se pré- 

 sente à noire imagination quand nous commettons 

 la contradiction de vouloir nous représenter cet 

 infini; en tant qu'on raisonne sur lui, il est essen- 

 tiellement déterminé. 



On citera, si l'on veut, des raisonnements mathé- 

 matiques qui n'ont pas cette parfaite rigueur. 

 Mais qui voudrait soutenir que les mathématiciens 

 ne font jamais que des raisonnements rigoureux 

 et qu'ils donnent toujours, du premier coup, la 

 meilleure forme à leur pensée? Dans bien des 

 raisonnements, le défaut de rigueur n'est qu'une 

 apparence, dont ne sont dupes que ceux qui n'ont 

 pas pénétré le sens des termes ; il y a des façons 

 usuelles el abrégées de parler, comme l'expression 

 « passer à la limite ■> qui, tout en étant contradic- 

 toires dans les termes, ne trompent guère que ceux 

 qui veulent se laisser tromper. D'autres raisonne- 

 ments permettent une vue rapide et comme d'en- 

 semble, qui toutefois devient confuse et imparfaite 

 pour les détails ; ils remplacent de longs et fati- 

 gants circuits, qu'il faut poursuivre en tenant à 

 la main une lanterne, qui éclaire très bien, mais 

 seulement à deux pas; d'autres raisonnements 

 enfin sont nettement provisoires, et on le sait ; on 



les garde, en attendant qu'on en ait trouvé de 

 meilleurs ; de pareils raisonnements correspon- 

 dent à une divination incomplète de la vijrité, et 

 l'histoire montre assez que ces divinations com- 

 portent souvent une part d'erreur que le progrès 

 de la science permettra d'éliminer un jour : le 

 plus souvent, c'est grâce à l'affirmation provisoire 

 d'un théorème, à l'élude de ses applications et de 

 ses conséquences lointaines que se fera ce progrès 

 qui permettra de distinguer nettement le vrai et le 

 faux, de donner au théorème ses limites et sa 

 signification précises. 



Le vrai sens du « postulatum d'Euclide » serait-il 

 jamais apparu aux mathématiciens s'ils étaient 

 restés à le tourner, à le retourner, au lieu de le 

 laisser derrière eux et de monter hardiment en 

 avant? Aujourd'hui même, pour les parties de la 

 science qui sont le mieux constituées, on renonce 

 à les enseigner aux débutants dans un ordre rigou- 

 reusement logique. Telle difficulté est laissée sys- 

 tématiquement dans l'ombre et les plus scrupuleux 

 des professeurs se contentent de signaler cette dif- 

 ficulté, ce trou noir qu'il faut enjamber, et que l'on 

 éclairera plus tard. 



L'étude des raisonnements imparfaits peut don- 

 ner lieu à de très intéressantes recherches psycho- 

 logiques et pédagogiques; la survivance même de 

 quelques-uns de ces raisonnements ne prouve rien 

 contre la rigueur mathématique. 



Je me suis étendu longuement sur le nombre 

 entier; c'est que ce nombre, avec ce qu'il implique 

 d'infini est, à ce que je crois, la matière essentielle 

 et unique de l'analyse. On peut dire que toute rela- 

 tion analytique se résout définitivement en rela- 

 tions entre des nombres entiers, à condition d'en- 

 tendre que ces relations peuvent concerner une 

 infinité de nombres entiers. L'extension et la géné- 

 ralisation de l'idée de nombre ne me paraissent 

 apporter aucun élément essentiellement nouveau. 



VII 



M. Couturat a Iraité avec soin et détail de celte 

 généralisation des nombres fractionnaires, qui ne 

 sont autre chose qu'un système de deux nombres 

 entiers, des nombres irrationnels, sur lesquels je 

 reviendrai tout à l'heure, parce que l'idée de l'in- 

 fini y revient d'une façon nécessaire, des nombres 

 positifs ou négatifs, qu'il appelle des nombres 

 qualifiés, et qui ne diliôrent des nombres ordi- 

 naires que par le signe qu'on y attache, des nom- 

 bres complexes, qui ne sont rien qu'un système de 

 deux nombres réels, comme une fraction est un 

 système de deux nombres entiers. Je soupçonne 

 fort M. Couturat de n'avoir développé cette expo- 

 sition autant qu'il l'a fait que pour rendre service 



