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JULES TANNERY — DE L'INFINI MATHÉMATIQUE 



aux philosophes qui désirent acquérir quelques 

 connaissances mathématiques et organiser celles 

 qu'ils ont; c'est une intention fort charitable et 

 qu'il a bien fait de réaliser; mais personne, àcoup 

 sûr, ne pouvait l'accuser de ne pas avoir les con- 

 naissances qu'il a montrées là, et cette partie 

 aurait pu être fort abrégée si l'auteur n'avait 

 voulu être lu que par ceux qui savent les Mathé- 

 matiques, ou par ceux qui ne s'en soucient pas. 

 L'infini n'a rien à faire ni avec les fractions, ni 

 avec les nombres « qualifiés » ; il n'en est pas de 

 même des nombres irrationnels, qui ne peuvent se 

 passer de lui. 



Pour la définition de ces nombres, qui ont été 

 longtemps une pierre de scandale, M. Couturat 

 expose les idées de M. Dedekind, qui me semblent 

 les plus claires et les plus profondes parmi celles 

 qui ont été émises sur ce sujet. On me permettra 

 de ne pas reprendre cet exposé, et de rappeler 

 seulement que, d'après M. Dedekind, la défini- 

 lion d'un nombre irrationnel consiste essentielle- 

 ment dans une séparation des nombres rationnels 

 en deux classes, chaque nombre rationnel contenu 

 dans l'une des classes étant inférieur à chaque 

 nombre rationnel de l'autre classe : en outre, la 

 première classe ne contient aucun nombre qui soit 

 supérieur à tous les autres nombres de la même 

 classe ; la seconde classe ne contient aucun nombre 

 qui soit inférieur à tous les nombres de la même 

 classe. C'est celte séparation, cette» coupure » qui 

 est l'essence du nombre rationnel. Ici encore, pour 

 parler d'un nombre irrationnel comme déterminé, 

 il sulïil de concevoir cette coupure (ou les deux 

 classes qu'elle sépare) comme déteminée; il n'est 

 pas nécessaire qu'on dise, ni même qu'on puisse 

 dire, comment elle est déterminée. Il va de soi 

 que le nombre irrationnel ne sera connu que si 

 cette détermination est formulée, que si l'on a le 

 moyen effectif de reconnaître si un nombre i-ation- 

 nel donné doit être placé au-dessus ou au-dessous 

 de la coupure. Si le nombre irrationnel est connu, 

 dans ce sens, la suite infinie des chiffres décimaux 

 qui permettent de le représenter sera aussi connue; 

 on pourra formuler, d'une façon plus ou moins 

 simple, la correspondance entre chacun de ses chif- 

 fres (p (n) et le rang ii qu'il occupe après la virgule. 

 Inversement, si cette correspondance est formulée, 

 elle définit explicitement la coupure; mais une 

 suite infinie de chiffres décimaux, conçue comme 

 déterminée, lors même qu'il est impossible de for- 

 muler cette détermination, doit être regardée 

 comme déterminant aussi bien une coupure, un 

 nombre irrationnel. Dès lors, l'ensemble de tous 

 les nombres rationnels ou irrationnels possibles, 

 l'ensemble de tous les nombres réels, est complète- 

 ment dèlini, la notion de nombre est complète, 



pourvu que l'on ait étendu à tous ces nouveaux 

 nombres la définition de l'égalité et des opérations 

 fondamentales. 



VIII 



On voit alors disparaître les diflicultès qui te- 

 naient à ce que la notion de nombre était incom- 

 plète (limite d'une suite infinie, existence des ra- 

 cines d'une équation, etc.). On est enfin parvenu 

 à ce nombre qui « imite l'étendue » : Si l'on consi- 

 dère, en effet, une droite et que, suivant les con- 

 ventions habituelles, on fixe la position de chaque 

 point sur la droite par son abscisse, à chaque point 

 de la droite correspond maintenant un nombre 

 réel et un seul ; et il suffit que le point de la droite 

 soit pensé comme déterminé, pour que le nombre 

 correspondant doive aussi être pensé comme dé- 

 terminé. Inversement, à chaque nombre corres- 

 pond un point de la droite. Le continu a été recon- 

 struit abstraitement avec les seuls concepts de 

 nombre entier et d'infini : un continu (à une di- 

 mension), ce sera, si l'on veut, l'ensemble des nom- 

 bres réels compris entre deux nombres fixes, qui 

 doivent être regardés comme faisant partie de 

 l'ensemble, dont ils sont les bornes. 



C'est à M. G. Cantor que l'on doit d'avoir éclairci et 

 précisé d'une façon mathématique l'idée, quelque 

 peu vague, qui correspond au mot continu : il l'a 

 fait au moyen de sa théorie des ensembles infinis. 

 J'ai essayé de dire plus haut ce qu'il fallait en- 

 tendre par un ensemble de nombres entiers; il va 

 de soi que la notion d'un ensemble déterminé s'é- 

 tend d'elle-même aux nombres quelconques, et j'ai 

 déjà, sans en prévenir, employé le mot avec cette 

 signification plus étendue. Mais on peut aller plus 

 loin : il n'y a aucune difficullé de plus à concevoir 

 un ensemble dont chaque élément sera un couple 

 (a,, a,) de deux nombres, couple dans lequel il y 

 aura un premier nombre (/,, et un second a.; le 

 premier et le second nombre ne jouant pas le 

 même rôle, en sorte que les deux couples (a,, a,), 

 (a, 0,') doivent être regardés comme distincts, à 

 moins que l'on n'ait a, ^o.. Un tel ensemble sera 

 un ensemble à deux dimensions; les ensembles 

 que nous avions considérés jusqu'ici étaient des 

 ensembles à une dimension, des ensembles li- 

 néaires. L'ensemble déterminé à deux dimensions 

 dont les éléments sont tous les couples distincts 

 que l'on peut concevoir comme formés d'un pre- 

 mier nombre réel et d'un second nombre réel, 

 « imite » le plan, en ce sens que, à chaque point 

 du plan correspond un élément do l'ensemble, 

 dont le premier et le second nombre sont l'abscisse 

 et l'ordonnée du point considéré ; inversement, à 

 chaque élément de l'ensemble correspond un point 

 du plan. On « imitera -> de même l'espace à trois 



